tyrytyty
tyrytyty
  • 2
@randomname1: jeśli a,b > 0 to a = x^2 i b = y^2 dla dokładnie jednej pary x,y > 0 (i vice versa), więc równowaznie możemy podstawić a = x^2, b = y^2

wtedy dostajesz (x + y)^8 >= 64 x^2 y^2 (x^2 + y^2 ) ^2 czyli równoważnie

(x+y)^4 >= 8 xy (x^2 + y^2) i powinno być dużo łatwiej, bo (spoiler)



  • Odpowiedz
Passarinho
Passarinho
  • 1
@randomname1: Pierwsze równanie daje kwadrat, a drugie pierścień. Widać, że wystarczy rozpatrywać tylko dodatnie x, y, więc można rozważać ćwiartkę tego pierścienia. Ta ćwiartka jest obszarem jednospójnym, więc jeśli brzeg tego kwadratu zawiera się w tym pierścieniu, to jego wnętrze również.
  • Odpowiedz
1qccj
1qccj
  • 2
@randomname1: Można też algebraicznie! Przesuńmy obie figury o wektor [-2,-2], wtedy pozostaje udowodnić, że |x^2+y^2+4x+4y|<5, gdy |x|+|y|<1. Zatem korzystając z nierówności trójkąta: |x^2+y^2+4x+4y|<=|x^2+y^2|+4|x+y|<1+4(|x|+|y|)<1+4=5. Nierówność x^2+y^2<1 jest prawdziwa, bo x^2+y^2<x^2+y^2+2|xy|=(|x|+|y|)^2<|x|+|y|<1
  • Odpowiedz
tyrytyty
tyrytyty
  • 1
@randomname1: ej ale to jest nierównośc między średnią arytmetyczną i kwadratową, weź sb spierwiastkuj obie strony i jeszcze podziel przez 1/sqrtn.

i to nie jest uzasadnianie dowodu przez coś czego nie umiemy udowodnić, bo nierówność między średnimi idzie z cauchy'ego-schwartza której dowód się sprowadza do pokazania że wielomian kwadratowy ma ujemną deltę
  • Odpowiedz
andrew2412
andrew2412
  • 0
@tyrytyty: Tu można jeszcze prościej na palę, jak się wymnoży drugi nawias, i przerzuci się wszystko na jedną stronę to chyba wyjdzie (xi - xj)^2 = 0, zatem wszystkie muszą być równe
  • Odpowiedz
Irrichi
Irrichi
  • 1
@randomname1: Możesz zapisać n^n jako ((n-1)+1)^n i rozwinąć to ze wzoru skróconego mnożenia. Wtedy pierwsze n-2 wyrazy będą się dzieliły przez (n-1)^2, a pozostałe wyrazy to n(n-1)+1, więc dostajesz n^n-n^2+n-1=(n-1)^2(...)+n(n-1)+1-n^2+n-1=(n-1)^2(...)
  • Odpowiedz
randomname1
randomname1
  • 0
Cześć, czy jest tu ktoś bez olimpiady na licencjacie z matematyki? Z jakich materialow przygotowywaliscie sie do studiow, jak sobie radzicie i czy jestescie zadowoleni z swojej decyzji? Czy dobrym pomyslem jest rozpoczecie nauki od ksiazek pod olimpiade na poziomie szkoly sredniej, tak aby odpowiednio wyrobic sobie myslenie? Pytanie kieruje glownie do studentow mimuw :)
#uw #matematyka #matura
misioneos
misioneos
  • 2
@randomname1: Raczej prawie wszyscy na matmie na mimuwie są bez olimpiad xD, kumpel z klasy jest, właśnie licencjat kończy, pierwszy rok chyba najcięższy miał, generalnie chyba zadowolony, ucz się do matury rozszerzonej i tyle, wątpię żeby ktokolwiek przygotowywał się do studiów przed ich rozpoczęciem
  • Odpowiedz

Osiągnięcia