[c.....s]

#nauka #edukacja #matematyka
58 Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna - Rio de Janeiro 2017

Na stronie ze śmiesznymi kotami znalazłem mema donoszącego o sukcesie polskiej drużyny na Światowej Olimpiadzie Matematycznej Rio 2017. Stwierdzał, że Polacy zdobyli 5 złotych i jeden brązowy medal. Sprawdziłem, zdobyli 5 brązowych i złoty. Polska na 22 pozycji, za Filipinami, Białorusią i innymi krajami 3 świata.
Rzuca się w oczy dominacja Azjatów Wschodnich. Bezapelacyjnie wygrała Korea, daleko przed Chinami i Wietnamem. Z tym że oprócz ChRL startowały osobne reprezentacje HongKongu i Taiwanu, też bardzo wysoko klasyfikowane.
Reprezentacja USA (miejsce 4) nie ma żadnego euro-atlantycko brzmiącego nazwiska.
Ogólnie potwierdzają się wszystkie uprzedzenia rasowe i seksistyczne (https://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2017).
6 zadań punktowanych 0−7. O medalach decyduje liczba uzyskanych punktów. Na 48 złotych medalistów mamy 9 nazwisk, które wyglądają euro-atlantycko. Reszta to Azjaci Wschodni plus Persowie (Iran miejsce 5) i Azjaci z Indii.
Wśród złotych medalistów jest jedna dziewczyna, z Korei (pozycja 7). Wśród wszystkich medalistów 17 kobiet na 291, przy czym druga, po tej Koreance, kobieta na pozycji 64.
Zadania poniżej. Za zadanie 3 tylko dwie osoby dostały maksa a tylko 7 osób jakiekolwiek punkty.

Zadanie 1 jest tak banalne, że nadaje się na maturę z nierozszerzonej matematyki. Dziwne że w ogóle się znalazło na IMO, a jeszcze dziwniejsze, że byli uczestnicy, którzy nie dostali za to maksa.

Podaję rozwiązanie najłatwiejszego zadania 2. W mojej opinii ładniejsze niż znalazłem na http://www.mathlinks.ro/Forum/portal.php. Tylko że zajęło mi to kilka godzin, bo najpierw straciłem pół nocy próbując podejścia wydającego się najelegantszym: dowodu, że ta funkcja g(x) = f(x)-f(0) jest liniowa. Dopiero rezygnacja z tej ścieżki pozwoliła rozwiązać to w 15 minut.

f(x+y) = f(xy) - f(f(x)f(y))
od razu widać, że
0: f=0 spełnia,
1: jeżeli f spełnia, to -f też spełnia.

niech f(0) = c
2: f(x) = c - f(cf(x))
c = c - f(c2); czyli f(c2) = 0; funkcja ma miejsce zerowe; (c2 = ckwadrat)
3: f(0) = 0 -> f=0
bo wtedy (2:) implikuje 0=c-0 -> c=0 -> f=0.
Czyli c =0 tylko dla f tożsamościowo równej 0, a to wykluczyliśmy.
Zatem zajmujemy się funkcjami o miejscach zerowych poza zerem.
Niech f(b) =0; teraz policzmy:
f(x+b) = f(bx) - f(0) = f(bx) -c
załóżmy że b<>1; weźmy x = b/(b-1), wtedy: f(bb/(b-1))=f(bb/(b-1))-c, zatem c = 0 sprzeczność z 3:
Zatem b=1; wtedy
f(x+1) = f(x) - c
a to jest definicja funkcji monotonicznej f(x) = 1-x albo f(x) = x-1

Zadanie 3 jest niechlujnie sformułowane bo nie wiadomo czy punkty P są losowo wybierane przez tracer, czy wybierane przez myśliwego, ani czy myśliwy uzyskuje namiar przed, czy po wykonaniu swojego kroku. Tak czy siak, nie mam na razie pomysłu. Punktem zaczepienia może być, ze negatywna informacja może lepiej zawężać miejsce pobytu zająca niż pozytywna informacja.

O pozostałych jeszcze nie myślałem.

[Agatk]

@clapaucius: Myśliwy i niewidzialny zając grają w grę na płaszczyźnie euklidesowej... brzmi jak wstęp do matematycznego dowcipu ( ͡° ͜ʖ ͡°)

[c.....s]

grają w grę

@Agatk: "grać w grę" to jest greps ze słynnego wywiadu o Sylwestrze. Nie wiem czy tłumacz użył tego sformułowania ironicznie, czy zwyczajnie popełnił pleonazm.

[c.....s]

dostaje współrzędne jednego z punktów znajdujących się w odległości nie większej niż 1 od zająca

@destruktiw_kommandoh: a faktycznie! to z mienia postać rzeczy. Podejrzewam że bardzo niska liczba sukcesów przy tym zadaniu bierze się z tego, że większość czyta tak jak ja: myśliwy wybiera punkt i sprawdza czy w promieniu 1 jest zając. Tekst angielski jest równie zwodniczy jak polski.

[kolnay1]

"grać w grę" to jest greps ze słynnego wywiadu o Sylwestrze. Nie wiem czy tłumacz użył tego sformułowania ironicznie, czy zwyczajnie popełnił pleonazm.

@clapaucius: To sformułowanie często pada w zadaniach tego typu, nawet na tak oficjalnych rzeczach jak egzaminy z cke.