[koostosh]

#zagadkijapera #matematyka

ZAGADKA NR 2
Dziedzina: rachunek prawdopodobieństwa i okolice
Poziom trudności: średni
Tytuł: zgubiona kostka.

Szykujecie się ze znajomymi na sesję , gdy już macie zaczynać okazuje się że brakuje wam K10 (kostki dziesięciościennej) ale macie za to zapas K6 (kostek sześciennych)
Znaleźć najskuteczniejszą metodę symulowania rzutów K10 za pomocą K6. Zakładamy że K6 ma rozkład jednorodny, K10 również ma mieć rozkład jednorodny.
Przez najskuteczniejszą metodę rozumiem taką która wymaga najmniejszej (w sensie wartości oczekiwanej) ilości rzutów kostką K6. Należy w tym celu również udowodnić że lepiej się nie da!

Jak coś jest niejasno to wołać, i może wsadzajcie rozwiązania w spoilery :)

[mateusza]

@koostosh: Rzucasz dwa razy K6 i postępujesz wg tabelki:

--| 1 2 3 4 5 6
================
1 | 1 2 3 4 5 6
2 | 7 8 9 0 1 2
3 | 3 4 5 6 7 8
4 | 9 0 1 2 3 4
5 | 5 6 7 8 9 0
6 | x x x x x x

x - oznacza powtórzenie dwóch rzutów

[Zelman666]

@mateusza: A dowód matematyczny? ( ͡º ͜ʖ͡º)

[mateusza]

@Zelman666: Dowód jest taki, że każdy wynik występuje w tabelce równo 3 razy, więc jest jednakowo prawdopodobny.

[koostosh]

@mateusza: Twój wynik to średnio 2,4 rzutu, za dużo

[mateusza]

@koostosh: Można wygenerować taką tabelkę dla rzutu 3*K6, wtedy p-stwo konieczności powtórzenia rzutu wyniesie tylko 2.7%, więc w 97% rzutów wynik będzie uzyskany za pierwszym razem...

[koostosh]

@mateusza: jeszcze gorsze rozwiązanie, rzucasz co najmniej 3 razy ;)

[mateusza]

@koostosh w sumie wychodzi mi na to, że dla rzutów 2*K6, w przypadku X wystarczy powtórzyć jeden rzut.

[q.....u]

@koostosh: to może rzucam raz, jeśli parzysta to A = 0, wpp A = 5, rzucam drugi raz i dodaję wynik do A jeśli wypadło 1-5 lub powtarzam rzut wpp

[mateusza]

@qwertyu:

Twoje rozwiązanie to poprzekładanie wartości w mojej tabelce. Ale oczekiwana liczba rzutów jest taka sama.

--| 1 2 3 4 5 6
================
1 | 1 1 1 6 6 6
2 | 2 2 2 7 7 7
3 | 3 3 3 8 8 8
4 | 4 4 4 9 9 9
5 | 5 5 5 0 0 0
6 | x x x x x

[beniamin-k]

@qwertyu: @mateusza: @koostosh: Wyszło mi, że maksymalnie w 5 rzutach można uzyskać taki rozkład.

[q.....u]

@mateusza: nie, bo u Ciebie w razie iksa powtarzam oba rzuty, u mnie tylko jeden

[mateusza]

@qwertyu: tak napisałem pierwotnie, ale w późniejszym komentarzu sprostowałem, że wystarczy powtórzyć tylko drugi rzut.

[beniamin-k]

@qwertyu: Myślę, że chodzi o ograniczenie maksymalnej liczby rzutów również.

[mateusza]

@beniamin-k: w tym rozwiązaniu maksymalna liczba rzutów jest nieskończona

[koostosh]

@beniamin-k: nie da się tego ograniczyć od góry. Gdybyś rzucał 5 razy to masz 7776 możliwych wyników, nie dzieli się przez 10 w żaden znany mi sposób :)
@mateusza: tak, wystarczy powtarzać tylko jeden rzut, ale nie podałeś jak należy później obliczać wynik, więc rozwiązanie na 90%
@qwertyu: ładniej tego ująć się chyba nie da, rozwiązanie poprawne.
Zaliczam pierwszą część zadania na korzyść @qwertyu
Czekam na dowód że lepiej

[q.....u]

nie da się tego ograniczyć od góry

@koostosh: tego algorytmu nie, ale można oczywiście dać algorytm z dokładnie 5 rzutami w każdym przypadku, tylko wtedy wartość oczekiwana mocno wzrośnie

Rozumiem, że bez dowodu nie zrobisz przelewu? :(

[q.....u]

ale można oczywiście dać algorytm z dokładnie 5 rzutami w każdym przypadku

@qwertyu: albo się zapędziłem, jeszcze muszę to przemyśleć ;)

[mateusza]

@koostosh:

@mateusza: tak, wystarczy powtarzać tylko jeden rzut, ale nie podałeś jak należy później obliczać wynik, więc rozwiązanie na 90%

podałem tabelkę

[koostosh]

@qwertyu: w ogóle się nie da, jeśli dałoby się zawsze rzucając maksymalnie k razy to by znaczyło że 6^k można podzielić na 10

[mateusza]

Podniesienie 6 do dowolnej potęgi całkowitej zawsze da liczbę niepodzielną przez 10.