@DzikiChleb: cos(beta)=6 * sqrt(2)/12=sqrt(2)/2, czyli beta = 45 stopni.

@DzikiChleb: To przeciwprostokątna w tym dużym trójkącie z betą (w tym o bokach H, 6sqrt(2), 12).

@KOxX69: Wydaje mi się, że brakuje ci 622, 262 i 226.

@jbc_wszystko: @Iperyt: @Positano1: W przykładzie na zdjęciu wynik normalnego mnożenia macierzy wychodzi taki sam niezależnie od kolejności mnożenia. Wyniki są różne, bo wolfram interpretuje pierwszy iloczyn na pierwszej części obrazka jako iloczyn Hadamarda, a nie zwykłe mnożenie.

@Chodtok: Jak wpiszesz . zamiast *, to za każdym razem wyjdzie normalne mnożenie macierzy.

@randomname1: @Ggeqev: Wychodzi 3.
Najpierw korzystasz z twierdzenia Stolza (https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2%80%93Ces%C3%A0ro_theorem ), potem mnożysz licznik i mianownika razy sqrt(n+1)-sqrt(n), jeszcze raz korzystasz z twierdzenia Stolza i powinno ci wyjść ((n+2)(sqrt(n+1)+sqrt(n+2))-(n+1)(sqrt(n)+sqrt(n+1)))/sqrt(n+2), wtedy wszystko upraszczasz i wychodzi -n^(3/2)/sqrt(n + 2) + n - sqrt(n)/sqrt(n + 2) + sqrt(n + 1)/sqrt(n + 2) + 2.
I wtedy -n^(3/2)/sqrt(n + 2) + n zbiega do 1 (sprowadzasz do wspólnego mianownika i mnożyszPokaż całość

@Morritz: Ciąg z którego chcemy liczyć granicę, to https://www.wolframalpha.com/input/?i2d=true&i=Divide%5BSum%5BDivide%5Bk%2CSum%5BSqrt%5Bi%5D%2C%7Bi%2C1%2Ck%7D%5D%5D%2C%7Bk%2C1%2Cn%7D%5D%2CSqrt%5Bn%5D%5D , ale wolfram nie daje sobie rady z policzeniem granicy(przynajmniej w przypadku darmowej wersji).
Jak chcesz popatrzeć na wartości ciągu dla konkretnego n, to tak wygląda kod w pythonie do ich liczenia: https://pastebin.com/PYrY1UBF . Dla n=10000000 wychodzi 2.9987082130840923.

@brightit: W pierwszym ruchu obracasz monety 1, 2, 3, 4, 5, w drugim 1, 6, 7, 8, 9 i w trzecim 1, 10, 11, 12, 13.

@Aqvis: Ae^(-iwt) wyciągasz przed pochodną bo jest stałe ze względu na x, a potem korzystasz z tego, że d^2/dx^2 sin(pix/L)=-pi^2/L^2 * sin(pix/L) oraz rozpisujesz h kreślone jako h/2pi.

@majanga: Ty nie masz rozwiązywać tego równania, tylko pokazać, że taka równość zawsze zachodzi. Problem jest taki, że po prawej stronie źle wstawiłeś n+1 i dlatego nie wychodzi. Powinno być (n+1) * (5n+8)/2 i wtedy jak uprościsz wszystko po lewej i prawej, to widać, że obie strony są równe.

@majanga: W pierwszej linijce po prawej powinno być (n+1) * (5(n+1)+3)/2

@loungemacher_: ∪ i ∩ to oznaczenia sumy i przecięcia zbiorów. https://pl.wikipedia.org/wiki/Suma_zbior%C3%B3w https://pl.wikipedia.org/wiki/Cz%C4%99%C5%9B%C4%87_wsp%C3%B3lna a te wzory który tam są nazywa się zasadą włączeń i wyłączeń https://pl.wikipedia.org/wiki/Zasada_w%C5%82%C4%85cze%C5%84_i_wy%C5%82%C4%85cze%C5%84

@loungemacher_: Ogólnie nie zawsze jest tak, że P(A∩B)=P(A) * P(B). Gdy tak jest to mówi się, że zdarzenia A i B są niezależne. https://pl.wikipedia.org/wiki/Zdarzenia_losowe_niezale%C5%BCne
Jako, że w rzeczywistości często widać, że pewne zdarzenie od siebie nie zależą (na przykład nie ma powodu, żeby rzut pierwszą kością wpływał na rzut drugą) to często można założyć, że zdarzenia są niezależne i wtedy masz P(A)P(B)=P(A∩B).

Co do wzoru powyżej to łatwo go zrozumiećPokaż całość

@KrolSandaczPierwszyRozrzutny: P(x)=W(x)*Q(x)+ax+b, bo reszta ma zawsze stopień mniejszy, niż to przez co dzielisz. Wtedy wstawiasz wstawiasz pierwiastki Q i dostajesz 4i-5=P(i)=0+ai+b, -4i-5=P(-i)=0-ai+b i rozwiązując układ równań dostajesz a=4, b=-5. Czyli reszta to 4x-5

@KrolSandaczPierwszyRozrzutny: Chodziło mi o układ równań 4i-5=ai+b, -4i-5=-ai+b, ale w tym przypadku faktycznie wystarczy jedno z równań.

@randomname1: Możesz zapisać n^n jako ((n-1)+1)^n i rozwinąć to ze wzoru skróconego mnożenia. Wtedy pierwsze n-2 wyrazy będą się dzieliły przez (n-1)^2, a pozostałe wyrazy to n(n-1)+1, więc dostajesz n^n-n^2+n-1=(n-1)^2(...)+n(n-1)+1-n^2+n-1=(n-1)^2(...)

@Anty_Chryst: -2,(9)=-3
https://pl.wikipedia.org/wiki/0,(9)

@pannapolka: To jest rozkład dwumianowy, więc jeżeli to ma być dokładnie 37 punktów to wychodzi C(60,37)\*0.2^37\*0.8^23, a jak chcesz policzyć dla co najmniej 37 punktów to musisz policzyć sumę po k od 37 do 60 z C(60,k)\*0.2^k\*0.8^(60-k)

@Iribell: W pierwszej linijce dowodu kroku indukcyjnego masz napisane, że m+k`=(m+k)`=(n+k)`, ale druga z tych równości oczywiście nie wynika bezpośrednio z założenia i w sumie to nie ma po co jej tu pisać, bo nigdzie później nie musisz z niej korzystać, bo linijki 3 wystarczą ci pierwsze równości.

@Iribell: Jest dobrze, możesz ewentualnie dopisać obok pierwszej implikacji, że wiesz to z jednego z poprzednich zadań.
Zwykle też na końcu dowodu indukcyjnego dopisuje się jakąś formułkę, że korzysta się z zasady indukcji matematycznej. Coś w stylu "Skoro 0 należy do N i k należy do N implikuje, że k` należy do N to na mocy zasady indukcji matematycznej N jest równy zbiorowi liczb naturalnych, co kończy dowód."

@whoamix: 19) https://math.stackexchange.com/questions/2947366/sum-of-ideals-equals-r-implies-the-sum-of-their-powers-is-r
A w 21 chyba powinno być jeszcze założenie, że R jest pierścieniem ideałów głównych i wtedy zadanie powinno wychodzić z 1 twierdzenia o izomorfizmie.

@rafal-masny: Z liczbami zespolonymi to nie ma nic wspólnego, a co do rozwiązań to są dobre i nie ma tam nic skomplikowanego.
W podpunkcie b 3 * 18^5 można obliczyć szybciej zamieniając 18 na -5 i wtedy dostajesz 3 * 2 * 2 * -5=-60=9.

@rafal-masny: Co do 1 zadania to wpisz w google solving congruences i wybierz cokolwiek, a 2 zadanie to są to po prostu obliczenia modulo 23 (czyli takie jak w całkowitych, tylko bierzesz wszystko modulo 23) i skorzystanie z małego tw Fermata.

@Icet: Możliwe, że chodzi ci o coś takiego: https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=272240