A co dokładnie potrzebujesz, z czym masz problem, bo podanie całego rozwiązania na tacy jest niedydaktyczne. :)

Dla przykładu z k wychodzi mi homomorfizm (dla dodawania korzysta się z lewo- jak i prawostronnej rozdzielności mnożenia macierzy względem dodawania, dla mnożenia wstawia się w środek element neutralny mnożenia w postaci P^(-1)*P). Jądrem odwzorowania będzie macierz zerowa, a obrazem całe R (aby otrzymać wszystkie liczby rzeczywiste wystarczy za A brać macierz identycznościową pomnożoną przezPokaż całość

Funkcja nie musi przyjmować wszystkich wartości ze swej przeciwdziedziny. Przeciwdziedzinę określa ten, co definiuje funkcję (ogranicza rozważanie jej wartości do jakiegoś zbioru), najczęściej zapis wygląda tak: f: X->Y, a potem następuje wzór f(x)=... . Zasadniczo to ciężko mówić o odczytywaniu przeciwdziedziny z funkcji, czy wykresu. Definiujący funkcję niejako podpowiada, jakiego typu są jej wartości.

Tak więc mamy na przykład:
f:R->R, f(x)=x^2 i wtedy przeciwdziedzina to R, a zbiór wartości to [0,inf)
f:[-2,2]->R, f(x)=x^2 i otrzymujemyPokaż całość

Jeszcze coś dopiszę odnośnie komentarza kolnay1. Poza studiami istnienie przeciwdziedziny zdaje się nie mieć sensu, bo nie widać jej przydatności.

Weźmy funkcję która każdemu z przyporządkowuje jego część całkowitą f(x)=[x]. Twórca może ci podać przeciwdziedzinę R i sam dochodzisz, że wszystkie możliwe wartości to jedynie wartości całkowite, albo może Ci od razu powiedzieć, że przeciwdziedzina to liczby całkowite.

Na studiach można się spotkać na przykład z odwzorowaniem, której argumentami są funkcje (oPokaż całość

BŁĄD we wpisie pierwszym:
f:[-2,2]->R, f(x)=x^2 i otrzymujemy R i [0,4] (napisałam dziedzinę zamiast przeciwdziedziny)
f:R->[0,inf), f(x)=x^2 i mamy, że przeciwdziedzina i zbiór wartości są sobie równe, czyli [0,inf) (drobnostka, nawias otwarty przy inf)

@sebalit: Jako uzupełnienie do tego, co napisał wcześniej kolega o mocy zbioru i bijekcji. Można by się zastanowić, czy liczby kardynalne różnią się od zwykłych liczb i w związku z tym, czy jest sens je wprowadzać. Zabawa zaczyna się, gdy weźmiemy pod uwagę zbiory nieskończone. Okazuje się, że nieskończoności jest hmmm... nieskończenie wiele. Moc zbioru liczb naturalnych jest nazywana alef zero (litera alfabetu hebrajskiego z indeksem 0). Taką samą mocPokaż całość

@Domownori: No tak. Kopernik była kobietą, a Higgs artystą-humanistą, który zaproponował naukowcom w CERN-ie, aby poszukali pewnego bozonu. Przykro mi zepsuć twój światopogląd, ale większość rzeczy, których używasz wymyślili (a nie tylko zbudowali) inżynierowie.
Na dodatek, paradoksalnie idąc twoim tokiem myślenia matematyka to nauka humanistyczna. Matematycy nie pracują na obiektach realnych, ale czysto abstrakcyjnych. Średni czas, jaki upływa od nowej teorii matematycznej do jej zastosowania to 50 lat. Przez tePokaż całość

@temokkor: Może na tym właśnie polega ten żart. Zostaliśmy strollowani! ( ͡° ͜ʖ ͡°)

@zielu14 @NieortodoksyjnyPastafarianin: Anegdotka z mojego wydziału. Pewien profesor w ramach wykładu udowadniał wzór. W jednym przypadku stwierdził, że sytuacja jest trywialna, a studenci go sobie sami uzupełnią, i przeszedł dalej. Z końcem semestru trzeba było się nauczyć przeprowadzać rzeczony dowód na egzaminie ustnym. Żaden ze studentów nie mógł sobie jednak poradzić z felernym przypadkiem, a wstyd było iść do profesora po pomoc tuż przed egzaminem. Tak więc każdy miałPokaż całość

@ScaRRyMaN: Jak ja zazdroszczę!

W tym roku niestety obowiązki mi nie pozwoliły tam być. Cieszę się, że przerwa (zeszłoroczna edycja się nie odbyła) nie spowodowała, że zaniechania pomysłu. Widzę nawet po patronatach, że się rozwija. I dobrze, bo jest to jedna z bardziej wartościowych imprez popularnonaukowych w Polsce. Amerykańskie URC nie dość, że jest geograficznie nieosiągalne, to jeszcze jest wydarzeniem zamkniętym.

na początku k√3 (czytaj: k pierwiastków z 3, czyli jednak mnożenie)
potem pierwiastek (z?) k do 3, czyli zdaje się √(k^3) vel (√k)^3
a na końcu pierwiastek z 3 do k, czyli √(3^k) vel (√3)^k
no żesz... a to podobno kobiety są niezdecydowane :]

@rijana:
1. robimy na wstępnie mały porządek: 2^(5/4*t) * 2 = 2^(2t) * 3 (po lewej stronie możemy możemy połączyć potęgi dwójki i mamy 2^(5/4*t + 1))
2. obustronnie obkładamy równanie funkcją log2(x) i wykorzystujemy po prawej stronie własność logarytmu iloczynu (równy jest sumie logarytmów)
3. otrzymujemy równanie liniowe zmiennej t, które po uporządkowaniu wygląda tak: 1 - log2(3) = 3/4*t i wyliczamy t

Postępując w innej kolejności otrzymuje się bardzoPokaż całość

Nasze wyniki są te same -4/3 * log2(3/2) = -4/3 [log2(3) - log2(2) ] = 4/3 [1 - log2(3)].
Pełnia wyboru :)

Nie będę się rozpisywać nad "genialnością" metody, jako komentarz wystarczy to:

@Alodnog: Nie znam etymologii słowa odpowiedzialność, ale może chodzi o działanie będące odpowiedzią na to, co się wcześniej zrobiło (w przeciwieństwie do sytuacji "mam wyj... na to").