No trochę czasu minęło od ostatniego postu. Odbiło mi od sławy i się wypaliłem ( ͡°͜ʖ͡°)
Wiecie co matematycy lubią robić najbardziej jak już zdefiniują jakąś klasę obiektów? Klasyfikować je i badać mapowania między nimi! W tym wpisie będzie więc o różnych morfizmach, twierdzeniach o klasyfikacji grup oraz o sposobach budowania nowych grup.
Na początek przypomnę, że grupy to uogólnienie powszechnych struktur matematycznych, jak na przykład symetrii obiektów czy zbioru liczb całkowitych z dodawaniem. Formalnie grupą jest zbiór wyposażony w jedno (łączne) działanie, względem którego istnieje element neutralny (jak zero w liczbach całkowitych) oraz elementy odwrotne (w analogii do liczb całkowitych będą to liczby ujemne). Poznaliśmy też dwie klasy grup: Zn, czyli zbiór liczb nieujemnych z działaniem dodawania modulo n - są to grupy przemienne i cykliczne, tj. generowane przez jeden element (jedynkę) oraz Dn czyli grupę symetrii n-kąta foremnego.
Niektóre grupy mogą wydawać się do siebie podobne. Dobrze byłoby więc sformalizować w jakiś sposób relacje między różnymi grupami. Spójrzmy na przykład na grupę obrotów zachowujących strukturę kwadratu (podgrupa D4 generowana przez r): H = {e, r, r^2, r^3}. Obroty możemy łączyć w trywialny sposób (np. r * r = r^2) a po czterech obrotach wracamy do stanu początkowego (r^4 = e). Przypomina to grupę Z4 z działaniem dodawania modulo 4; w zasadzie grupy te są w oczywisty sposób takie same - zamiast r^2 mamy 2 i tak dalej. Formalnie, istnieje funkcja, która przenosi działania z jednej grupy na drugą. Ogółem funkcje tego typu w matematyce nazywa się morfizmami i dodaje różne przedrostki do nazwy, jeśli morfizm robi coś ciekawego. Tak dochodzimy do pierwszej nowej definicji:
Funkcję między dwoma grupami φ: (G, ∘) → (H, ⋆) nazywamy homomorfizmem jeśli φ(g1 ∘ g2) = φ(g1) ⋆ φ(g2)
Homomorfizm konwertuje więc element z jednej grupy na element drugiej grupy, w taki sposób, że działania między elementami są zachowane. W naszym wcześniejszym przykładzie homomorfizm φ: (H, ∘) → (Z4, +) możemy zdefiniować w taki sposób, że φ(r^n) = n. Rzeczywiście φ(r^n ∘ r^m) = n + m, więc φ jest homomorfizmem.
Dla dowolnej pary grup istnieje homomorfizm trywialny, który mapuje wszystko na element neutralny φ: x ↦ e, ale nie jest on zbyt przydatny.
Zauważmy, że homomorfizm nie musi mapować elementów grup 1 do 1. W przykładzie 1. z funkcją e^x nigdy nie wylądujemy na liczbie ujemnej. Innymi słowy nie istnieje taki x, że φ1(x) < 0, a przecież zbiór R \ {0} zawiera takie elementy i nie zostaną one pokryte. Podobnie w przykładzie 2. nigdy nie wylądujemy na 3. Homomorfizm wydaje się więc nie być wystarczająco silny do stwierdzenia, że grupy są takie same. Tak dochodzimy do definicji izomorfizmu:
Izomorfizm to homomorfizm, który jest bijekcją, czyli funkcją różnowartościową, która "pokrywa" wszystkie elementy zbioru docelowego.
Jeśli istnieje izomorfizm między grupami to mówimy, że grupy są ze sobą izomorficzne i zapisujemy G ≅ H. Przytoczona wcześniej grupa obrotów kwadratu jest izomorficzna z grupą Z4.
Inne ważne przypadki homomorfizmów to: - endomorfizm - homomorfizm między tymi samymi grupami - automorfizm - izomorfizm między tymi samymi grupami
Co ciekawe, zbiór automorfizmów ma strukturę grupy i oznacza się ją Aut(⋅). Zbiór endomorfizmów End(⋅) nie tworzy już grupy, ale przydaje się do kompaktowego (gatekeeping ( ͡°͜ʖ͡°)) zapisu, np. zbiór macierzy nxn można zapisywać jako End(R^n), bo macierze to przekształcenia zachowujące strukturę przestrzeni liniowej. Ale to nie wpis o algebrze liniowej, więc zostawmy to.
Z homomorfizmami grupy związane są pojęcia obrazu oraz jądra. Obrazem homomorfizmu nazywamy zbiór jego wszystkich możliwych wartości, ozn. Imφ (od image). Jądro to zaś zbiór wszystkich elementów, które mapowane są na element neutralny i oznaczamy go Kerφ (od kernel). Dla przykładu φ2: (Z4, +) → (Z8, +), φ2(x) = 2x mamy Imφ2 = {0, 2, 4, 6} oraz Kerφ2 = {0}. Dla homomorfizmu trywialnego φ: G → H Kerφ to zawsze cała grupa (Kerφ = G).
Powyższe pojęcia są niezwykle przydatne w życiu codziennym, ponieważ umożliwiają zrozumienie żartu: "Przychodzi izomorfizm do lekarza, a lekarz się pyta «Dlaczego ma Pan takie trywialne jądro?»".
Jak już się pośmialiśmy, to zobaczmy jeden ze sposobów tworzenia nowych grup. Skoro grupy to zbiory z działaniem, to możemy spróbować wykorzystać znaną metodę łączenia ze sobą zbiorów, czyli iloczyn kartezjański. Dla dwóch zbiorów, np. A = {1, 2}, B = {a, b} możemy stworzyć nowy zbiór A×B parując ze sobą elementy obu zbiorów: A×B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}. Ta sama konstrukcja działa również dla grup. Niech (G, ∘) i (H, ⋆) to dwie grupy. Iloczyn prosty tych grup G×H (lub suma prosta G⊕H, jeśli korzystamy z notacji addytywnej) to grupa par elementów obu grup z naturalnie zdefiniowanym działaniem (g1, h1)∙(g2, h2) = (g1∘g2, h1⋆h2). Nowa grupa kopiuje więc działania stary grup na poszczególny elementy uporządkowanej pary.
Tak dochodzimy do naszego pierwszego twierdzenia o klasyfikacji grup (zasadnicze twierdzenie o skończonych grupach przemiennych):
Wszystkie skończone grupy przemienne są izomorficzne z grupą sumą prostą postaci Zk1⊕Zk2⊕Zk3⊕...
Dla przykładu, grupa D2 = <a, b | a^2 = b^2 = (ab)^2 = e> (grupa czwórkowa Kleina) jest izomorficzna z Z2⊕Z2.
Z twierdzenia wynika, że grupy przemienne są proste i raczej bardzo dobrze rozumiane ( ͡°͜ʖ͡°) Jak za chwilę zobaczymy z grupami nieprzemiennymi sprawa nie jest taka prosta, ale najpierw zdefiniujemy czym są grupy proste.
Czasem chcielibyśmy spojrzeć na obiekt w bardziej zgrubny sposób; badać jego strukturę z mniejszą dokładnością. Powiedzmy, że coś takiego umożliwiają warstwy (ang. cosets). Niech H jest podgrupą grupy G (H ≤ G). Warstwą (lewostronną) elementu g, względem podgrupy H nazywamy zbiór gH = {gh : h∊H}. Analogicznie dla warstw prawostronnych: Hg = {hg : h∊H}. Dodatkowo, mówimy że g jest reprezentantem warstwy. Rozszyfrowując notacje, można powiedzieć, że tworzenie warstw polega na mnożeniu jakiegoś elementu grupy g (reprezentanta warstwy) każdym możliwym elementem podgrupy. W notacji addytywnej zapisuje się g+H i H+g. Jak można się domyślać, na ogół gH≠Hg.
Możemy zauważyć, że warstwy 0+H, 1+H, 2+H, 3+H dzielą grupę na równoliczne zbiory, które nie mają wspólnych elementów i razem tworzą całą grupę. Jest to ogólny fakt, związany z warstwami. Poza tym, widzimy że 0+H = 4+H, zatem dla różnych reprezentantów mamy te same warstwy. Na ogół jeśli element f należy do warstwy gH to fH = gH.
Liczbę warstw powstałą względem podgrupy nazywamy indeksem podgrupy i oznaczamy [G : H].
W powyższym przykładzie warstwy uprościły grupę do 4 zbiorów ([G : H] = 4), które składają się z liczb o określonej reszcie z dzielenia przez 4.
Nasuwa się naturalne pytanie, czy zbiór warstw tworzy strukturę grupy? Niestety na ogół tak nie jest, ponieważ działanie może nie być dobrze zdefiniowane dla warstw i dawać różne wyniki przy wyborze różnych reprezentantów. Okazuje się, że problem znika kiedy lewo- i prawostronne warstwy są sobie równe, tj. gH = Hg dla każdego g. Mówimy wtedy, że podgrupa H jest normalna i zapisujemy H⊲G. Z oczywistych powodów wszystkie podgrupy grup przemiennych są normalne. Ponadto jeśli [G : H] = 2 to H⊲G (bo dla elementu neutralnego e zawsze zachodzi eH = He, a że warstwy dzielą całą grupę to nie ma wyjścia i drugie warstwy również muszą być sobie równe).
Możemy teraz zdefiniować grupę ilorazową (ang. quotient group). Jeśli N⊲G to G/N = {gN : g∊G}, czyli grupą ilorazową nazywamy grupę warstw względem podgrupy normalnej. Działanie zdefiniowane jest w jedyny racjonalny sposób: g1N ∘ g2N = (g1∘g2)N
Dla naszego przykładu z 4Z: (1+H) + (2+H) = 3+H (2+H) + (2+H) = 4+H = 0+H
Można sprawdzić, że działanie jest dobrze zdefiniowane i daje takie same wyniki dla różnych reprezentantów (np. 9+H + 10+H = 1+H + 2+H, czyli wynik nie zależy od tego jaki element z warstwy wybierzemy). Na ogół Z/nZ ≅ Zn.
Kolejny przykład będzie dla grupy D4 = <r, s | r^4 = e, s^2 = e, rs = sr^3>. Zbadajmy podgrupę H = {e, r, r^2, r^3}: eH = {e, r, r^2, r^3} sH = {s, sr, sr^2, sr^3}
r^nH = eH dla dowolnej potęgi, co jest oczywiste, a sH zawiera wszystkie pozostałe elementy (jak zastanawiasz się gdzie rs albo r^2s to: rs = sr^3, r^2s = rrs = rsr^3 = sr^3r^3 = sr^2}. Normalność podgrupy możemy więc wywnioskować na podstawie tego, że [G : H] = 2. Zauważmy, że sHsH = eH. W związku z tym D4/H ≅ Z2. Wynik możemy interpretować tak, że wszystkie obroty zostały połączone w jeden element i pozostało nam jedynie działanie odbicia lustrzanego, które zachowuje się właśnie jak Z2.
Teraz możemy przytoczyć (pierwsze) twierdzenie o izomorfizmie (którego nie będę tłumaczył ( ͡°͜ʖ͡°)):
Jeśli φ: G → H jest homomorfizmem grup to istnieje dokładnie jeden izomorfizm ψ: G/kerφ → Imφ taki, że φ = ψ∘π, gdzie π: G → G/kerφ jest rzutowaniem kanonicznym.
π G ----------------> G/kerφ \ | \ | \ | φ \ | ψ \ | \ | \ V Imφ Twierdzenie to przydaje się na przykład przy szukaniu homomorfizmów między grupami.
W końcu dochodzimy do punktu kulminacyjnego wpisu! Grupę nazywamy prostą jeśli jej jedynymi podgrupami normalnymi jest grupa trywialna (składająca się tylko z elementu neutralnego) oraz cała grupa. O grupach prostych można myśleć jak o atomach lub liczbach pierwszych, z których składają się wszystkie grupy. Przez długi czas matematycy próbowali sklasyfikować grupy proste. Zajęło to kilkadziesiąt lat i tysiące stron artykułów i podobno stanowi jedno z największych osiągnięć współczesnej matematyki. Okazuje się, ze grupy proste należą do jednej z kilku rodzin: grupy cykliczne (czyli znane nam Zn), grupy alternujące (podgrupy parzystych permutacji), grupy typu Liego i pochodne (np. Tits group https://en.wikipedia.org/wiki/Tits_group) lub jedne z 26 grup sporadycznych, które stanowią wyjątki. Najbardziej znaną grupą sporadyczną jest grupa monstrum (Monster group), która znana jest z tego, że jest ogromna i w ZUPEŁNIE nieoczekiwany sposób łączy się z pewną funkcją modularną (j-function). Ten nieprawdopodobny związek znany jest jako Monstrous moonshine, za co odpowiada John Conway (dla śmiertelników znany z Game of Life, w matematyce miał udział w klasyfikacji grup prostych). Związek ten został udowodniony przez Richarda Borcherdsa, który otrzymał za to największe wyróżnienie w matematyce, czyli medal Fieldsa. Co ciekawe, aktywnie prowadzi kanał na YouTubie, gdzie prowadzi różne kursy.
Słynny 3blue1brown robił filmik o grupie monstrum i wspomnianej, nieprawdopodobnej hipotezie.
Chciałem napisać jeszcze o group action, ale wpis byłby za długi ( ͡°͜ʖ͡°). Będzie w następnym wpisie w serii, albo od razu przejdę od pierścieni. Możliwe, że w międzyczasie pojawią się wpisy na inny temat.
@important_sample może i to abstrakcyjne, ale...czy te grupy to nie wymyśliła przypadkiem jedna osoba? (o_O)
Tzn.: jeśli kolejne [kwadraty] są w jakiś sposób iteracjami, powieleniami pewnego układu, to...jaki byłby sens przypiswać kolory jakimś Wielkim Matematykom? Oni to wymyślili od podstaw, czy może raczej studiowali to i potem rozwijali teorię w tym kierunku?
#matematyka #mathsamples #ciekawostki #popularnonaukowe #gruparatowaniapoziomu
(Kontynuacja BESTSELLEROWEGO wpisu)
No trochę czasu minęło od ostatniego postu. Odbiło mi od sławy i się wypaliłem ( ͡° ͜ʖ ͡°)
Wiecie co matematycy lubią robić najbardziej jak już zdefiniują jakąś klasę obiektów? Klasyfikować je i badać mapowania między nimi! W tym wpisie będzie więc o różnych morfizmach, twierdzeniach o klasyfikacji grup oraz o sposobach budowania nowych grup.
Na początek przypomnę, że grupy to uogólnienie powszechnych struktur matematycznych, jak na przykład symetrii obiektów czy zbioru liczb całkowitych z dodawaniem. Formalnie grupą jest zbiór wyposażony w jedno (łączne) działanie, względem którego istnieje element neutralny (jak zero w liczbach całkowitych) oraz elementy odwrotne (w analogii do liczb całkowitych będą to liczby ujemne). Poznaliśmy też dwie klasy grup: Zn, czyli zbiór liczb nieujemnych z działaniem dodawania modulo n - są to grupy przemienne i cykliczne, tj. generowane przez jeden element (jedynkę) oraz Dn czyli grupę symetrii n-kąta foremnego.
Niektóre grupy mogą wydawać się do siebie podobne. Dobrze byłoby więc sformalizować w jakiś sposób relacje między różnymi grupami. Spójrzmy na przykład na grupę obrotów zachowujących strukturę kwadratu (podgrupa D4 generowana przez r): H = {e, r, r^2, r^3}. Obroty możemy łączyć w trywialny sposób (np. r * r = r^2) a po czterech obrotach wracamy do stanu początkowego (r^4 = e). Przypomina to grupę Z4 z działaniem dodawania modulo 4; w zasadzie grupy te są w oczywisty sposób takie same - zamiast r^2 mamy 2 i tak dalej. Formalnie, istnieje funkcja, która przenosi działania z jednej grupy na drugą. Ogółem funkcje tego typu w matematyce nazywa się morfizmami i dodaje różne przedrostki do nazwy, jeśli morfizm robi coś ciekawego. Tak dochodzimy do pierwszej nowej definicji:
Funkcję między dwoma grupami φ: (G, ∘) → (H, ⋆) nazywamy homomorfizmem jeśli φ(g1 ∘ g2) = φ(g1) ⋆ φ(g2)
Homomorfizm konwertuje więc element z jednej grupy na element drugiej grupy, w taki sposób, że działania między elementami są zachowane. W naszym wcześniejszym przykładzie homomorfizm φ: (H, ∘) → (Z4, +) możemy zdefiniować w taki sposób, że φ(r^n) = n. Rzeczywiście φ(r^n ∘ r^m) = n + m, więc φ jest homomorfizmem.
Inne przykłady:
1. φ1: (R, +) → (R \ {0}, *), φ1(x) = e^x
2. φ2: (Z4, +) → (Z8, +), φ2(x) = 2x
3. φ3: (Z2, +) → (SL2(Z), *), φ3(0) = [[1, 0], [0, 1]] i φ3(1) = [[0, 1], [1, 0]].
Dla dowolnej pary grup istnieje homomorfizm trywialny, który mapuje wszystko na element neutralny φ: x ↦ e, ale nie jest on zbyt przydatny.
Zauważmy, że homomorfizm nie musi mapować elementów grup 1 do 1. W przykładzie 1. z funkcją e^x nigdy nie wylądujemy na liczbie ujemnej. Innymi słowy nie istnieje taki x, że φ1(x) < 0, a przecież zbiór R \ {0} zawiera takie elementy i nie zostaną one pokryte. Podobnie w przykładzie 2. nigdy nie wylądujemy na 3. Homomorfizm wydaje się więc nie być wystarczająco silny do stwierdzenia, że grupy są takie same. Tak dochodzimy do definicji izomorfizmu:
Izomorfizm to homomorfizm, który jest bijekcją, czyli funkcją różnowartościową, która "pokrywa" wszystkie elementy zbioru docelowego.
Jeśli istnieje izomorfizm między grupami to mówimy, że grupy są ze sobą izomorficzne i zapisujemy G ≅ H. Przytoczona wcześniej grupa obrotów kwadratu jest izomorficzna z grupą Z4.
Inne ważne przypadki homomorfizmów to:
- endomorfizm - homomorfizm między tymi samymi grupami
- automorfizm - izomorfizm między tymi samymi grupami
Co ciekawe, zbiór automorfizmów ma strukturę grupy i oznacza się ją Aut(⋅). Zbiór endomorfizmów End(⋅) nie tworzy już grupy, ale przydaje się do kompaktowego (gatekeeping ( ͡° ͜ʖ ͡°)) zapisu, np. zbiór macierzy nxn można zapisywać jako End(R^n), bo macierze to przekształcenia zachowujące strukturę przestrzeni liniowej. Ale to nie wpis o algebrze liniowej, więc zostawmy to.
Z homomorfizmami grupy związane są pojęcia obrazu oraz jądra. Obrazem homomorfizmu nazywamy zbiór jego wszystkich możliwych wartości, ozn. Imφ (od image). Jądro to zaś zbiór wszystkich elementów, które mapowane są na element neutralny i oznaczamy go Kerφ (od kernel).
Dla przykładu φ2: (Z4, +) → (Z8, +), φ2(x) = 2x mamy Imφ2 = {0, 2, 4, 6} oraz Kerφ2 = {0}. Dla homomorfizmu trywialnego φ: G → H Kerφ to zawsze cała grupa (Kerφ = G).
Powyższe pojęcia są niezwykle przydatne w życiu codziennym, ponieważ umożliwiają zrozumienie żartu: "Przychodzi izomorfizm do lekarza, a lekarz się pyta «Dlaczego ma Pan takie trywialne jądro?»".
Jak już się pośmialiśmy, to zobaczmy jeden ze sposobów tworzenia nowych grup. Skoro grupy to zbiory z działaniem, to możemy spróbować wykorzystać znaną metodę łączenia ze sobą zbiorów, czyli iloczyn kartezjański. Dla dwóch zbiorów, np. A = {1, 2}, B = {a, b} możemy stworzyć nowy zbiór A×B parując ze sobą elementy obu zbiorów: A×B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}. Ta sama konstrukcja działa również dla grup. Niech (G, ∘) i (H, ⋆) to dwie grupy. Iloczyn prosty tych grup G×H (lub suma prosta G⊕H, jeśli korzystamy z notacji addytywnej) to grupa par elementów obu grup z naturalnie zdefiniowanym działaniem (g1, h1)∙(g2, h2) = (g1∘g2, h1⋆h2). Nowa grupa kopiuje więc działania stary grup na poszczególny elementy uporządkowanej pary.
Zobaczmy przykładowe działania dla Z3⊕Z4:
(1, 1) + (1, 2) = (2, 3)
(2, 3) + (1, 1) = (0, 0)
Tak dochodzimy do naszego pierwszego twierdzenia o klasyfikacji grup (zasadnicze twierdzenie o skończonych grupach przemiennych):
Wszystkie skończone grupy przemienne są izomorficzne z grupą sumą prostą postaci Zk1⊕Zk2⊕Zk3⊕...
Dla przykładu, grupa D2 = <a, b | a^2 = b^2 = (ab)^2 = e> (grupa czwórkowa Kleina) jest izomorficzna z Z2⊕Z2.
Z twierdzenia wynika, że grupy przemienne są proste i raczej bardzo dobrze rozumiane ( ͡° ͜ʖ ͡°) Jak za chwilę zobaczymy z grupami nieprzemiennymi sprawa nie jest taka prosta, ale najpierw zdefiniujemy czym są grupy proste.
Czasem chcielibyśmy spojrzeć na obiekt w bardziej zgrubny sposób; badać jego strukturę z mniejszą dokładnością. Powiedzmy, że coś takiego umożliwiają warstwy (ang. cosets). Niech H jest podgrupą grupy G (H ≤ G). Warstwą (lewostronną) elementu g, względem podgrupy H nazywamy zbiór gH = {gh : h∊H}. Analogicznie dla warstw prawostronnych: Hg = {hg : h∊H}. Dodatkowo, mówimy że g jest reprezentantem warstwy. Rozszyfrowując notacje, można powiedzieć, że tworzenie warstw polega na mnożeniu jakiegoś elementu grupy g (reprezentanta warstwy) każdym możliwym elementem podgrupy. W notacji addytywnej zapisuje się g+H i H+g. Jak można się domyślać, na ogół gH≠Hg.
Dla przykładu weźmy podgrupę 4Z grupy (Z, +), czyli H = {..., -4, 0, 4, 8, ...}.
0+H = {..., -4, 0, 4, 8, ...}
1+H = {..., -3, 1, 5, 9, ...}
2+H = {..., -2, 2, 6, 10, ...}
3+H = {..., -1, 3, 7, 11, ...}
4+H = {..., -4, 0, 4, 8, ...}
Możemy zauważyć, że warstwy 0+H, 1+H, 2+H, 3+H dzielą grupę na równoliczne zbiory, które nie mają wspólnych elementów i razem tworzą całą grupę. Jest to ogólny fakt, związany z warstwami. Poza tym, widzimy że 0+H = 4+H, zatem dla różnych reprezentantów mamy te same warstwy. Na ogół jeśli element f należy do warstwy gH to fH = gH.
Liczbę warstw powstałą względem podgrupy nazywamy indeksem podgrupy i oznaczamy [G : H].
W powyższym przykładzie warstwy uprościły grupę do 4 zbiorów ([G : H] = 4), które składają się z liczb o określonej reszcie z dzielenia przez 4.
Nasuwa się naturalne pytanie, czy zbiór warstw tworzy strukturę grupy? Niestety na ogół tak nie jest, ponieważ działanie może nie być dobrze zdefiniowane dla warstw i dawać różne wyniki przy wyborze różnych reprezentantów. Okazuje się, że problem znika kiedy lewo- i prawostronne warstwy są sobie równe, tj. gH = Hg dla każdego g. Mówimy wtedy, że podgrupa H jest normalna i zapisujemy H⊲G. Z oczywistych powodów wszystkie podgrupy grup przemiennych są normalne. Ponadto jeśli [G : H] = 2 to H⊲G (bo dla elementu neutralnego e zawsze zachodzi eH = He, a że warstwy dzielą całą grupę to nie ma wyjścia i drugie warstwy również muszą być sobie równe).
Możemy teraz zdefiniować grupę ilorazową (ang. quotient group). Jeśli N⊲G to G/N = {gN : g∊G}, czyli grupą ilorazową nazywamy grupę warstw względem podgrupy normalnej. Działanie zdefiniowane jest w jedyny racjonalny sposób:
g1N ∘ g2N = (g1∘g2)N
Dla naszego przykładu z 4Z:
(1+H) + (2+H) = 3+H
(2+H) + (2+H) = 4+H = 0+H
Można sprawdzić, że działanie jest dobrze zdefiniowane i daje takie same wyniki dla różnych reprezentantów (np. 9+H + 10+H = 1+H + 2+H, czyli wynik nie zależy od tego jaki element z warstwy wybierzemy). Na ogół Z/nZ ≅ Zn.
Kolejny przykład będzie dla grupy D4 = <r, s | r^4 = e, s^2 = e, rs = sr^3>. Zbadajmy podgrupę H = {e, r, r^2, r^3}:
eH = {e, r, r^2, r^3}
sH = {s, sr, sr^2, sr^3}
r^nH = eH dla dowolnej potęgi, co jest oczywiste, a sH zawiera wszystkie pozostałe elementy (jak zastanawiasz się gdzie rs albo r^2s to: rs = sr^3, r^2s = rrs = rsr^3 = sr^3r^3 = sr^2}. Normalność podgrupy możemy więc wywnioskować na podstawie tego, że [G : H] = 2. Zauważmy, że sHsH = eH. W związku z tym D4/H ≅ Z2. Wynik możemy interpretować tak, że wszystkie obroty zostały połączone w jeden element i pozostało nam jedynie działanie odbicia lustrzanego, które zachowuje się właśnie jak Z2.
Teraz możemy przytoczyć (pierwsze) twierdzenie o izomorfizmie (którego nie będę tłumaczył ( ͡° ͜ʖ ͡°)):
Jeśli φ: G → H jest homomorfizmem grup to istnieje dokładnie jeden izomorfizm ψ: G/kerφ → Imφ taki, że φ = ψ∘π, gdzie π: G → G/kerφ jest rzutowaniem kanonicznym.
πG ----------------> G/kerφ
\ |
\ |
\ |
φ \ | ψ
\ |
\ |
\ V
Imφ
Twierdzenie to przydaje się na przykład przy szukaniu homomorfizmów między grupami.
W końcu dochodzimy do punktu kulminacyjnego wpisu! Grupę nazywamy prostą jeśli jej jedynymi podgrupami normalnymi jest grupa trywialna (składająca się tylko z elementu neutralnego) oraz cała grupa. O grupach prostych można myśleć jak o atomach lub liczbach pierwszych, z których składają się wszystkie grupy. Przez długi czas matematycy próbowali sklasyfikować grupy proste. Zajęło to kilkadziesiąt lat i tysiące stron artykułów i podobno stanowi jedno z największych osiągnięć współczesnej matematyki. Okazuje się, ze grupy proste należą do jednej z kilku rodzin: grupy cykliczne (czyli znane nam Zn), grupy alternujące (podgrupy parzystych permutacji), grupy typu Liego i pochodne (np. Tits group https://en.wikipedia.org/wiki/Tits_group) lub jedne z 26 grup sporadycznych, które stanowią wyjątki. Najbardziej znaną grupą sporadyczną jest grupa monstrum (Monster group), która znana jest z tego, że jest ogromna i w ZUPEŁNIE nieoczekiwany sposób łączy się z pewną funkcją modularną (j-function). Ten nieprawdopodobny związek znany jest jako Monstrous moonshine, za co odpowiada John Conway (dla śmiertelników znany z Game of Life, w matematyce miał udział w klasyfikacji grup prostych). Związek ten został udowodniony przez Richarda Borcherdsa, który otrzymał za to największe wyróżnienie w matematyce, czyli medal Fieldsa. Co ciekawe, aktywnie prowadzi kanał na YouTubie, gdzie prowadzi różne kursy.
Słynny 3blue1brown robił filmik o grupie monstrum i wspomnianej, nieprawdopodobnej hipotezie.
Chciałem napisać jeszcze o group action, ale wpis byłby za długi ( ͡° ͜ʖ ͡°). Będzie w następnym wpisie w serii, albo od razu przejdę od pierścieni. Możliwe, że w międzyczasie pojawią się wpisy na inny temat.
źródło: gn5cimd92mh11-2227919743
PobierzTzn.: jeśli kolejne [kwadraty] są w jakiś sposób iteracjami, powieleniami pewnego układu, to...jaki byłby sens przypiswać kolory jakimś Wielkim Matematykom? Oni to wymyślili od podstaw, czy może raczej studiowali to i potem rozwijali teorię w tym kierunku?