Aktywne Wpisy
planarize +190
Inicjatywa Stop Niszczeniu Gier Komputerowych właśnie przebiła wymagany próg w Danii, jest to piąty kraj z wymaganych siedmiu i zebrano ~340k głosów poparcia z potrzebnego miliona. :)
https://eci.ec.europa.eu/045/public/
#gry #pcmasterrace #komputery #konsole #playstation #xbox #stopkillinggames
https://eci.ec.europa.eu/045/public/
#gry #pcmasterrace #komputery #konsole #playstation #xbox #stopkillinggames
źródło: obraz
Pobierz
Kolanka +780
Żukosia podała dalej mojego twitta o wniosku o udzielenie informacji publicznej na temat telefonów w sekretariacie MRiT.
Teraz czuje presje żeby to dowieźć xD
#nieruchomosci
Teraz czuje presje żeby to dowieźć xD
#nieruchomosci
źródło: temp_file6849609048728475920
Pobierz
Aktywne Znaleziska
#matematyka #mathsamples #ciekawostki #popularnonaukowe #gruparatowaniapoziomu
(Kontynuacja BESTSELLEROWEGO wpisu)
No trochę czasu minęło od ostatniego postu. Odbiło mi od sławy i się wypaliłem ( ͡° ͜ʖ ͡°)
Wiecie co matematycy lubią robić najbardziej jak już zdefiniują jakąś klasę obiektów? Klasyfikować je i badać mapowania między nimi! W tym wpisie będzie więc o różnych morfizmach, twierdzeniach o klasyfikacji grup oraz o sposobach budowania nowych grup.
Na początek przypomnę, że grupy to uogólnienie powszechnych struktur matematycznych, jak na przykład symetrii obiektów czy zbioru liczb całkowitych z dodawaniem. Formalnie grupą jest zbiór wyposażony w jedno (łączne) działanie, względem którego istnieje element neutralny (jak zero w liczbach całkowitych) oraz elementy odwrotne (w analogii do liczb całkowitych będą to liczby ujemne). Poznaliśmy też dwie klasy grup: Zn, czyli zbiór liczb nieujemnych z działaniem dodawania modulo n - są to grupy przemienne i cykliczne, tj. generowane przez jeden element (jedynkę) oraz Dn czyli grupę symetrii n-kąta foremnego.
Niektóre grupy mogą wydawać się do siebie podobne. Dobrze byłoby więc sformalizować w jakiś sposób relacje między różnymi grupami. Spójrzmy na przykład na grupę obrotów zachowujących strukturę kwadratu (podgrupa D4 generowana przez r): H = {e, r, r^2, r^3}. Obroty możemy łączyć w trywialny sposób (np. r * r = r^2) a po czterech obrotach wracamy do stanu początkowego (r^4 = e). Przypomina to grupę Z4 z działaniem dodawania modulo 4; w zasadzie grupy te są w oczywisty sposób takie same - zamiast r^2 mamy 2 i tak dalej. Formalnie, istnieje funkcja, która przenosi działania z jednej grupy na drugą. Ogółem funkcje tego typu w matematyce nazywa się morfizmami i dodaje różne przedrostki do nazwy, jeśli morfizm robi coś ciekawego. Tak dochodzimy do pierwszej nowej definicji:
Funkcję między dwoma grupami φ: (G, ∘) → (H, ⋆) nazywamy homomorfizmem jeśli φ(g1 ∘ g2) = φ(g1) ⋆ φ(g2)
Homomorfizm konwertuje więc element z jednej grupy na element drugiej grupy, w taki sposób, że działania między elementami są zachowane. W naszym wcześniejszym przykładzie homomorfizm φ: (H, ∘) → (Z4, +) możemy zdefiniować w taki sposób, że φ(r^n) = n. Rzeczywiście φ(r^n ∘ r^m) = n + m, więc φ jest homomorfizmem.
Inne przykłady:
1. φ1: (R, +) → (R \ {0}, *), φ1(x) = e^x
2. φ2: (Z4, +) → (Z8, +), φ2(x) = 2x
3. φ3: (Z2, +) → (SL2(Z), *), φ3(0) = [[1, 0], [0, 1]] i φ3(1) = [[0, 1], [1, 0]].
Dla dowolnej pary grup istnieje homomorfizm trywialny, który mapuje wszystko na element neutralny φ: x ↦ e, ale nie jest on zbyt przydatny.
Zauważmy, że homomorfizm nie musi mapować elementów grup 1 do 1. W przykładzie 1. z funkcją e^x nigdy nie wylądujemy na liczbie ujemnej. Innymi słowy nie istnieje taki x, że φ1(x) < 0, a przecież zbiór R \ {0} zawiera takie elementy i nie zostaną one pokryte. Podobnie w przykładzie 2. nigdy nie wylądujemy na 3. Homomorfizm wydaje się więc nie być wystarczająco silny do stwierdzenia, że grupy są takie same. Tak dochodzimy do definicji izomorfizmu:
Izomorfizm to homomorfizm, który jest bijekcją, czyli funkcją różnowartościową, która "pokrywa" wszystkie elementy zbioru docelowego.
Jeśli istnieje izomorfizm między grupami to mówimy, że grupy są ze sobą izomorficzne i zapisujemy G ≅ H. Przytoczona wcześniej grupa obrotów kwadratu jest izomorficzna z grupą Z4.
Inne ważne przypadki homomorfizmów to:
- endomorfizm - homomorfizm między tymi samymi grupami
- automorfizm - izomorfizm między tymi samymi grupami
Co ciekawe, zbiór automorfizmów ma strukturę grupy i oznacza się ją Aut(⋅). Zbiór endomorfizmów End(⋅) nie tworzy już grupy, ale przydaje się do kompaktowego (gatekeeping ( ͡° ͜ʖ ͡°)) zapisu, np. zbiór macierzy nxn można zapisywać jako End(R^n), bo macierze to przekształcenia zachowujące strukturę przestrzeni liniowej. Ale to nie wpis o algebrze liniowej, więc zostawmy to.
Z homomorfizmami grupy związane są pojęcia obrazu oraz j---a. Obrazem homomorfizmu nazywamy zbiór jego wszystkich możliwych wartości, ozn. Imφ (od image). Jądro to zaś zbiór wszystkich elementów, które mapowane są na element neutralny i oznaczamy go Kerφ (od kernel).
Dla przykładu φ2: (Z4, +) → (Z8, +), φ2(x) = 2x mamy Imφ2 = {0, 2, 4, 6} oraz Kerφ2 = {0}. Dla homomorfizmu trywialnego φ: G → H Kerφ to zawsze cała grupa (Kerφ = G).
Powyższe pojęcia są niezwykle przydatne w życiu codziennym, ponieważ umożliwiają zrozumienie żartu: "Przychodzi izomorfizm do lekarza, a lekarz się pyta «Dlaczego ma Pan takie trywialne jądro?»".
Jak już się pośmialiśmy, to zobaczmy jeden ze sposobów tworzenia nowych grup. Skoro grupy to zbiory z działaniem, to możemy spróbować wykorzystać znaną metodę łączenia ze sobą zbiorów, czyli iloczyn kartezjański. Dla dwóch zbiorów, np. A = {1, 2}, B = {a, b} możemy stworzyć nowy zbiór A×B parując ze sobą elementy obu zbiorów: A×B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}. Ta sama konstrukcja działa również dla grup. Niech (G, ∘) i (H, ⋆) to dwie grupy. Iloczyn prosty tych grup G×H (lub suma prosta G⊕H, jeśli korzystamy z notacji addytywnej) to grupa par elementów obu grup z naturalnie zdefiniowanym działaniem (g1, h1)∙(g2, h2) = (g1∘g2, h1⋆h2). Nowa grupa kopiuje więc działania stary grup na poszczególny elementy uporządkowanej pary.
Zobaczmy przykładowe działania dla Z3⊕Z4:
(1, 1) + (1, 2) = (2, 3)
(2, 3) + (1, 1) = (0, 0)
Tak dochodzimy do naszego pierwszego twierdzenia o klasyfikacji grup (zasadnicze twierdzenie o skończonych grupach przemiennych):
Wszystkie skończone grupy przemienne są izomorficzne z grupą sumą prostą postaci Zk1⊕Zk2⊕Zk3⊕...
Dla przykładu, grupa D2 = <a, b | a^2 = b^2 = (ab)^2 = e> (grupa czwórkowa Kleina) jest izomorficzna z Z2⊕Z2.
Z twierdzenia wynika, że grupy przemienne są proste i raczej bardzo dobrze rozumiane ( ͡° ͜ʖ ͡°) Jak za chwilę zobaczymy z grupami nieprzemiennymi sprawa nie jest taka prosta, ale najpierw zdefiniujemy czym są grupy proste.
Czasem chcielibyśmy spojrzeć na obiekt w bardziej zgrubny sposób; badać jego strukturę z mniejszą dokładnością. Powiedzmy, że coś takiego umożliwiają warstwy (ang. cosets). Niech H jest podgrupą grupy G (H ≤ G). Warstwą (lewostronną) elementu g, względem podgrupy H nazywamy zbiór gH = {gh : h∊H}. Analogicznie dla warstw prawostronnych: Hg = {hg : h∊H}. Dodatkowo, mówimy że g jest reprezentantem warstwy. Rozszyfrowując notacje, można powiedzieć, że tworzenie warstw polega na mnożeniu jakiegoś elementu grupy g (reprezentanta warstwy) każdym możliwym elementem podgrupy. W notacji addytywnej zapisuje się g+H i H+g. Jak można się domyślać, na ogół gH≠Hg.
Dla przykładu weźmy podgrupę 4Z grupy (Z, +), czyli H = {..., -4, 0, 4, 8, ...}.
0+H = {..., -4, 0, 4, 8, ...}
1+H = {..., -3, 1, 5, 9, ...}
2+H = {..., -2, 2, 6, 10, ...}
3+H = {..., -1, 3, 7, 11, ...}
4+H = {..., -4, 0, 4, 8, ...}
Możemy zauważyć, że warstwy 0+H, 1+H, 2+H, 3+H dzielą grupę na równoliczne zbiory, które nie mają wspólnych elementów i razem tworzą całą grupę. Jest to ogólny fakt, związany z warstwami. Poza tym, widzimy że 0+H = 4+H, zatem dla różnych reprezentantów mamy te same warstwy. Na ogół jeśli element f należy do warstwy gH to fH = gH.
Liczbę warstw powstałą względem podgrupy nazywamy indeksem podgrupy i oznaczamy [G : H].
W powyższym przykładzie warstwy uprościły grupę do 4 zbiorów ([G : H] = 4), które składają się z liczb o określonej reszcie z dzielenia przez 4.
Nasuwa się naturalne pytanie, czy zbiór warstw tworzy strukturę grupy? Niestety na ogół tak nie jest, ponieważ działanie może nie być dobrze zdefiniowane dla warstw i dawać różne wyniki przy wyborze różnych reprezentantów. Okazuje się, że problem znika kiedy lewo- i prawostronne warstwy są sobie równe, tj. gH = Hg dla każdego g. Mówimy wtedy, że podgrupa H jest normalna i zapisujemy H⊲G. Z oczywistych powodów wszystkie podgrupy grup przemiennych są normalne. Ponadto jeśli [G : H] = 2 to H⊲G (bo dla elementu neutralnego e zawsze zachodzi eH = He, a że warstwy dzielą całą grupę to nie ma wyjścia i drugie warstwy również muszą być sobie równe).
Możemy teraz zdefiniować grupę ilorazową (ang. quotient group). Jeśli N⊲G to G/N = {gN : g∊G}, czyli grupą ilorazową nazywamy grupę warstw względem podgrupy normalnej. Działanie zdefiniowane jest w jedyny racjonalny sposób:
g1N ∘ g2N = (g1∘g2)N
Dla naszego przykładu z 4Z:
(1+H) + (2+H) = 3+H
(2+H) + (2+H) = 4+H = 0+H
Można sprawdzić, że działanie jest dobrze zdefiniowane i daje takie same wyniki dla różnych reprezentantów (np. 9+H + 10+H = 1+H + 2+H, czyli wynik nie zależy od tego jaki element z warstwy wybierzemy). Na ogół Z/nZ ≅ Zn.
Kolejny przykład będzie dla grupy D4 = <r, s | r^4 = e, s^2 = e, rs = sr^3>. Zbadajmy podgrupę H = {e, r, r^2, r^3}:
eH = {e, r, r^2, r^3}
sH = {s, sr, sr^2, sr^3}
r^nH = eH dla dowolnej potęgi, co jest oczywiste, a sH zawiera wszystkie pozostałe elementy (jak zastanawiasz się gdzie rs albo r^2s to: rs = sr^3, r^2s = rrs = rsr^3 = sr^3r^3 = sr^2}. Normalność podgrupy możemy więc wywnioskować na podstawie tego, że [G : H] = 2. Zauważmy, że sHsH = eH. W związku z tym D4/H ≅ Z2. Wynik możemy interpretować tak, że wszystkie obroty zostały połączone w jeden element i pozostało nam jedynie działanie odbicia lustrzanego, które zachowuje się właśnie jak Z2.
Teraz możemy przytoczyć (pierwsze) twierdzenie o izomorfizmie (którego nie będę tłumaczył ( ͡° ͜ʖ ͡°)):
Jeśli φ: G → H jest homomorfizmem grup to istnieje dokładnie jeden izomorfizm ψ: G/kerφ → Imφ taki, że φ = ψ∘π, gdzie π: G → G/kerφ jest rzutowaniem kanonicznym.
πG ----------------> G/kerφ
\ |
\ |
\ |
φ \ | ψ
\ |
\ |
\ V
Imφ
Twierdzenie to przydaje się na przykład przy szukaniu homomorfizmów między grupami.
W końcu dochodzimy do punktu kulminacyjnego wpisu! Grupę nazywamy prostą jeśli jej jedynymi podgrupami normalnymi jest grupa trywialna (składająca się tylko z elementu neutralnego) oraz cała grupa. O grupach prostych można myśleć jak o atomach lub liczbach pierwszych, z których składają się wszystkie grupy. Przez długi czas matematycy próbowali sklasyfikować grupy proste. Zajęło to kilkadziesiąt lat i tysiące stron artykułów i podobno stanowi jedno z największych osiągnięć współczesnej matematyki. Okazuje się, ze grupy proste należą do jednej z kilku rodzin: grupy cykliczne (czyli znane nam Zn), grupy alternujące (podgrupy parzystych permutacji), grupy typu Liego i pochodne (np. Tits group https://en.wikipedia.org/wiki/Tits_group) lub jedne z 26 grup sporadycznych, które stanowią wyjątki. Najbardziej znaną grupą sporadyczną jest grupa monstrum (Monster group), która znana jest z tego, że jest ogromna i w ZUPEŁNIE nieoczekiwany sposób łączy się z pewną funkcją modularną (j-function). Ten nieprawdopodobny związek znany jest jako Monstrous moonshine, za co odpowiada John Conway (dla śmiertelników znany z Game of Life, w matematyce miał udział w klasyfikacji grup prostych). Związek ten został udowodniony przez Richarda Borcherdsa, który otrzymał za to największe wyróżnienie w matematyce, czyli medal Fieldsa. Co ciekawe, aktywnie prowadzi kanał na YouTubie, gdzie prowadzi różne kursy.
Słynny 3blue1brown robił filmik o grupie monstrum i wspomnianej, nieprawdopodobnej hipotezie.
Chciałem napisać jeszcze o group action, ale wpis byłby za długi ( ͡° ͜ʖ ͡°). Będzie w następnym wpisie w serii, albo od razu przejdę od pierścieni. Możliwe, że w międzyczasie pojawią się wpisy na inny temat.
źródło: gn5cimd92mh11-2227919743
PobierzTzn.: jeśli kolejne [kwadraty] są w jakiś sposób iteracjami, powieleniami pewnego układu, to...jaki byłby sens przypiswać kolory jakimś Wielkim Matematykom? Oni to wymyślili od podstaw, czy może raczej studiowali to i potem rozwijali teorię w tym kierunku?