[pyroxar]

Mam znaleźć rząd 12 elementu pierścienia o nośniku Z/56.

Jak mam zacząć. Nie mam uporządkowanej wiedzy i mi się coś myli z elementami odwracalnymi i liczbami względnie pierwszymi.

#matematyka

[sezzart]

11^r = 1 (mod 56)

@yummy157: pytanie co to znaczy 12 element, ja bym to traktowal po prostu jako [12]. wtedy szukasz k*[12] = [1] w Z/56Z. raczej nie chodzi o potegowanie bo Z/56Z nie jest grupą z mnozeniem

[yummy157]

@sezzart: No to zależy co jest pierwszym,
Z56 = {0,1,...,55} jeśli przyjąć że 0 to pierwszy element to wtedy 11 będzie dwunastym.

I mnożenie jest zdefiniowane bo jest to pierscien

[sezzart]

k*[12] = [1] w Z/56Z

@yummy157: k*[12] = [0] w Z/56Z oczywiscie bo to jest wyraz neutralny dodawania

[sezzart]

I mnożenie jest zdefiniowane bo jest to pierscien

@yummy157: mnozenie jest zdefiniowane ale Z/56Z nie jest grupa z mnozeniem. Jezeli mowilibysmy o grupie z mnozeniem, to trzeba wyrzucic wszystkie liczby ktore maja wspolny dzielnik z 56. Ale wtedy musisz policzyc ktory element tam jest 12stym.

[yummy157]

@sezzart:

Doczytałem trochę i tak:

Ponieważ jest to pierscien to mnożenie jest w nim

[sezzart]

@yummy157: pierwsze zdanie w pierwszym linku: Rząd – pojęcie oddające intuicję „rozmiaru” (w sensie „rzędu wielkości”) danej grupy
w jaki sposob mozesz okreslic rozmiar danej grupy jezeli to nie jest grupa?

[yummy157]

@sezzart: każdy pierscien jest przecież grupą

[yummy157]

@sezzart: Znalazłem jeszcze coś takiego:

[sezzart]

@yummy157: nie, pierscien to nie grupa. Elementy pierscienia musza tworzyc grupe ale tylko z +

[yummy157]

@sezzart: pierscien spełnia wszystkie aksjomaty grupy

Czym w takim razie miałby być rząd elementu pierscienia?

[sezzart]

@yummy157: pierscien jest inna struktura niz grupa. grupa wymaga od ciebie zbioru i operacji, pierscien zbioru i dwoch roznych operacji. jezeli mowimy o spelnianiu wymagan na grupe to po pierwsze musisz sprecyzowac o ktorym dzialaniu mowisz.
w tym przypadku jak juz wyzej napisalem, dla pierscienia (R,+,*), (R,+) musi byc grupą (definicja pierscienia). Ale juz (R,*) nie.

rząd elementu pierscienia?

@yummy157: wszystko zalezy jak to definiowali. dla mnie naturalnym

[sezzart]

nie widac razy w definicji pierscienia, chodzilo oczywiscie o (R,+,\cdot)

[sezzart]

alternatywa byloby rozpatrywanie unit'ow pierscienia(jednostek?). wtedy mamy faktycznie gwarancje ze (R^{\times},\cdot) - czyli zbior unitow z mnozeniem faktycznie gwarantuje nam grupe.
dlatego jak pisalem wyzej, zalezy jak definiowali

[tyrytyty]

unit'ow pierscienia(jednostek?)

@sezzart: elementów odwracalnych

[sezzart]

elementów odwracalnych

@tyrytyty: nie ma na to jakiejs lepszej nazwy po polsku?

[yummy157]

@sezzart:
pierscien jest zdefiniowany jako grupa z dodatkowym działaniem binarnym. Każdy pierscien bez tego dodatkowego działania jest grupa. Także kłótnia o tym czy każdy pierscien to grupa wydaje się bardziej kłótnia filozoficzna.

Może poczekajmy aż op nam napisze o co chodzi. Ja po tej dyskusji skłaniałbym się do tego

[sezzart]

pierscien jest zdefiniowany jako grupa z dodatkowym działaniem binarnym

@yummy157: nie, pierscien zdefiniowany jest jako zbior i dwie operacje, z czego zbior z pierwsza operacja tworzy grupe. ale masz racje, to drobne niescislosci
PS gdyby to byla grupa z operacja notacja bylaby taka ((R,+), \cdot) imho

[yummy157]

@sezzart:

PS gdyby to była grupa z operacja notacja byłaby taka ((R,+), /cdot)

Notacja jest (R, +, /cdot) bo matematycy mają tendencje do uproszczania takich rzeczy. W praktyce jest to grupa z dodatkowym działaniem, bo w definicji pierscienia operator + spełnia wszystkie aksjomaty które ma spełniać dla grupy. Pewnie zależy też jaką byś definicje czytał (są np ludzie którzy ograniczają definicje pierscienia tylko do zbiorów z działaniem multiplikatywnym)