[randomname1]

Jak najsprytniej to wykazać?
#matematyka

[tyrytyty]

@randomname1: narysować (⌐ ͡■ ͜ʖ ͡■)

[Passarinho]

@randomname1: Pierwsze równanie daje kwadrat, a drugie pierścień. Widać, że wystarczy rozpatrywać tylko dodatnie x, y, więc można rozważać ćwiartkę tego pierścienia. Ta ćwiartka jest obszarem jednospójnym, więc jeśli brzeg tego kwadratu zawiera się w tym pierścieniu, to jego wnętrze również.

[1qccj]

@randomname1: Można też algebraicznie! Przesuńmy obie figury o wektor [-2,-2], wtedy pozostaje udowodnić, że |x^2+y^2+4x+4y|<5, gdy |x|+|y|<1. Zatem korzystając z nierówności trójkąta: |x^2+y^2+4x+4y|<=|x^2+y^2|+4|x+y|<1+4(|x|+|y|)<1+4=5. Nierówność x^2+y^2<1 jest prawdziwa, bo x^2+y^2<x^2+y^2+2|xy|=(|x|+|y|)^2<|x|+|y|<1