[GazowanyKompot-99]

W półkole o danym promieniu wpisano trapez o maksymalnym polu. Wyznaczyć kąt między podstawą a ramieniem trapezu. Pomoże ktoś ? #matematyka #studbaza

[xentropia]

@GazowanyKompot-99: 60? Ale to z założenia, że największy sześciokąt wpisany w okrąg jest foremny, więc w półkolu sensowny wydaje się trapez będący jego połową

[Passarinho]

@GazowanyKompot-99: Można zauważyć, że największy trapez będzie miał podstawę na średnicy półkola.
Prowadzimy promień od środka półkola do wierzchołków trapezu. Otrzymujemy trzy trójkąty - suma ich pól to pole trapezu.
Ich pole wynosi r^2 sinx +0.5r^2 sin(180-2x)=r^2(sinx+0.5sin(2x))
Licząc pochodną dostajemy równanie (po skorzystaniu z własności trygonometrycznych) 2cos^2x+cosx-1=0
Z tego dostajemy x=1/2. Ponieważ trójkąty w trapezie mamy równoramienne, to kąt między podstawą, a ramieniem jest znany.

[GazowanyKompot-99]

Wielkie dzięki policzylem wyszło mi 60 chyba dobrze

[cevilo]

@Passarinho: jak pokazać, że największy trapez będzie miał podstawę na średnicy?

[Passarinho]

@cevilo: Trapez wpisany w okrąg to po prostu dwie równoległe cięciwy z połączonymi wierzchołkami. Mają ustaloną cięciwę, to pole trapezu będzie większe jeśli druga cięciwa będzie bliżej środka okręgu (bo rośnie zarówno wysokość jak i długość podstawy). Ponieważ operujemy na półokręgu, to tej cięciwy nie możemy przesunąć poza średnicę okręgu, więc jeśli ta cięciwa (podstawa) jest średnicą półokręgu to pole jest największe.

[cevilo]

@Passarinho: Takie rozumowanie rozumiem, ale naucz mnie więcej podstaw. Co znaczy figura wpisana w półokrąg, co znaczy trapez wpisany w półokrąg, dlaczego nie mogę konstruować tego trapezu w półokręgu, tak by dwa równoległe boki trapezu były prostopadłe do średnicy, jak na rysunku. Albo po jeszcze innym kątem.
Widziałem tego typu zadania optymalizacyjne, ale było tam wśród założeń, że bok jest średnicą. Tutaj zacząłem się zastanawiać jak wykazać, że inne trapezy będą

[Passarinho]

@cevilo: W skrócie, X wpisane w Y to największa figura przystająca do X w całości zawarta przez Y.
To co masz na rysunku to jest trochę inny problem optymalizacyjny. W tym przypadku otrzymałbyś, że trapezem o największym polu byłby prostokąt. ale prostokąt potem łatwo przekształcić na większy trapez przez rozchylenie boków na średnicy, co prowadzi do trapezu z bokiem równym średnicy.
Czasami trzeba rozpatrzyć przypadki w jaki sposób ustawić figury, bo