[Freedie]

#matematyka #algebraliniowa

Mirki mam takie zadanie :
Wyznaczyć jądro i obraz przekształcenia macierzy A =
1 2 2 1
2 4 3 3
3 6 4 5
1 2 3 0

Obliczyłem i doszedłem do postaci A =
1 2 2 1
0 0 -1 1
0 0 -2 2
0 0 1 -1
po czym zredukowałem do postaci A =
1 2 3 0
0 0 -1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
i zapisałem układ równań:
x_1 + 2*x_2 + 3*x4 = 0
-x3 + x4 = 0
Sparamertyzowałem x4 = t, x2 = s
i otrzymałem wektor (x1,x2,x3,x_4) = (-2*s - 3*t,s,t,t)
i nie wiem czy dobrze to obliczyłem bo zrobiłem coś takiego
-2*s = 3*t
s = - 3/2*t

Podstawiłem : [0,-3/2*t,t,t],wyciągnąłem t i wyszło : [0,-3/2,1,1]

Moje pytanie czy jest dobrze?

[kolnay1]

@Freedie: ale co ty tu właściwie zrobiłeś? w jaki sposób dotyczy to wyznaczania jądra i obrazu?

[tyrytyty]

@Freedie:

Wyznaczyć jądro i obraz przekształcenia macierzy

wyszło : [0,-3/2,1,1]

?

[Freedie]

@kolnay1: na początku użyłem eliminacji gaussa do sprowadzenia macierzy do postaci z której wynika czy jest liniowo niezależna,po czym wyzerowałem wiersze i zapisałem układ równań macierzy,a na końcu zapisałem jądro.

[Freedie]

@tyrytyty: chodziło o jądro czyli ker = {[0,-3/2,1,1]}

[j.....0]

i otrzymałem wektor (x1,x2,x3,x_4) = (-2s - 3t,s,t,t)

i nie wiem czy dobrze to obliczyłem bo zrobiłem coś takiego

-2s = 3t

@Freedie nie mam pojęcia skąd ci to równanie wyszło. Jeśli wcześniejsze obliczenia są dobre, to jądro to będą wszystkie wektory postaci (-2s - 3t,s,t,t) po t i s, czyli po przekształceniu wyjdzie ci powłoka liniowa nad wektorami (-2,1,0,0) i (-3,0,1,1)

[kolnay1]

@Freedie: do eliminacji Gaussa przydaje się mieć układ równań. Nie powinieneś najpierw uzupełnić tej macierzy o kolumnę 0 przy liczeniu jądra? W końcu to realizacja problemu typu Ax=[0]. Jednym z oczywistych wektorów spełniających tę równość jest wektor zerowy.

Ponadto wyjaśnij mi jeszcze przejścia tego typu:

po czym zredukowałem do postaci A =

1 2

[Freedie]

@kolnay1 literówka powinno być
{x1+2*x2+3*x3 = 0
{-x3+x4 = 0

Oraz pozbyłem się wierszy liniowo zależnych poprzez odjęcie od nich wiersza drugiego i ponadto dodałem wiersz drugi do pierwszego aby pozostała jedyna jedynka w kolumnie(nie pamiętam jak to się nazywało ( ͡° ʖ̯ ͡°) )

[Freedie]

@jaksa0: a skąd się wzięło (-2,1,0,0) i (-3,0,1,1)?

[kolnay1]

@Freedie: No dobra, już się połapałem w tym co chciałeś zrobić. To załóżmy, że doszliśmy już do (-2s - 3t,s,t,t).
Takiej postaci będą wektory z jądra. Można to zapisać jako (-2,1,0,0)s+(-3,0,1,1)t i wychodzi to co @jaksa0: napisał, że to rozpięcie wektorów postaci (-2,1,0,0) i (-3,0,1,1).