[crushyna]

Mirki mireczki witam was bardzo serdecznie kochani.
Szybkie pytanie dla specjalistów z pod tagu #matematyka
Potrzebuję ładnie wyliczyć granicę z pochodnymi z poniższego zadanka.
Jakoś mi to idzie, ale tego nie mogę rozgryźć.
Ogólnie wyszło mi 1, a powinno 0. I to dwa razy z użyciem "dejupitala".
Jest mi to ktoś w stanie szybko rozpisać i prawidłowo wyliczyć? (ʘ‿ʘ)

#pytanie #studbaza #pomocy #etrapez

[M.....i]

@crushyna: We wtorek mam drugi termin z granic i pochodnych. A teraz prześladuje mnie to nawet na wypoku... (╯︵╰,)

[Sihill_pl]

@crushyna: @nektar

[nektar]

@crushyna: za godzinę mogę popróbować coś

[boa_dupczyciel]

@crushyna: próbowałeś rozpisać ctg na cos/sin

[crushyna]

@boa_dupczyciel: A jest sens? I tak trzeba pochodną z ctg liczyć i będzie jeszcze jeden ułamek, a tak to będę miał 3 kreski ułamkowe :/

[R.....l]

@crushyna: Zrób podstawienie y= x-1 i skorzystaj dwukrotnie z reguły de l'Hospitala.

[R.....l]

@crushyna: Za pierwszym razem uzyskujesz (1/y)/(-1/sin^2(y))=-(sin^2(y))/y. Z tym już sobie poradzisz.

[crushyna]

@Rissiel:

[crushyna]

@crushyna: @Rissiel: No w sumie prawidłowo mi wyszło (minusa zjadłem). Ale co dalej?
Bo wychodzi, że wynik to jest sin(y)^2. A to nie jest ani 1, ani 0 :/

[R.....l]

@crushyna: Pochodna z ctg(y) równa się -1/sin^2(y), więc brakuje tam minus. Nie musisz liczyć pochodnej z podstawienia, to nie są całki. Musisz tylko wiedzieć do czego dąży y gdy x dąży do z prawej strony. Więc robisz tak: x->1+ więc y->(1^+ -1) czyli do 0^+.

[crushyna]

@Rissiel: Czyli wynik koniec końców jest 0/1, czyli po prostu 0?

[Navrazz]

@crushyna: nie no, tutaj musisz drugi raz de Hospitala pociągnąć bo masz symbol nieoznaczony [0/0]. I tam masz sin^2(y) a nie sin(y)^2.

[crushyna]

@Navrazz: Bardzo możliwe, że się rypnąłem przy tym :/ Mam to zadanie na 3 kartkach A4 w różnych wariantach, więc chętnie przyjmę inną interpretacje (poprawną) od A do Z :D

[Navrazz]

@crushyna: czekaj, zaraz spróbuje to zrobić a jak mi wyjdzie to ładnie rozpiszę i wrzucę zdjęcie. Ale nic nie obiecuję ;)

[M.....i]

@Navrazz: Mi wyszło z tego na końcu -2*sin(0)*cos(0), czyli 0. Dobrze?

[R.....l]

@Navrazz: Przecież to napisałem kilka postów wyżej... Oznaczenia są różne na potęgi funkcji trygonometrycznych, ważne żeby potęga nie znalazła się w nawiasie gdzie jest argument.

[R.....l]

@crushyna: Tak, taki jest wynik. Podstawienia w liczeniu granic często ułatwiają życie. Wynika to bezpośrednio z transformacji funkcji. Właśnie kilka postów niżej ktoś się pytał. Po to się to robi w liceum czy tam gimnazjum, żeby się przydało dalej.

[Navrazz]

@Rissiel: wiem wiem, komentowałem tylko zdjęcie :)
@Mrodzi: tak, to jest właściwy wynik :)

[M.....i]

@Navrazz: To może będzie minimum 3 z drugiego terminu. :)

[Navrazz]

@Mrodzi: życzę powodzenia :) Ja od tego semestru poszedłem znów na studia (chyba z nudów :D) i własnie w niedzielę miałem koło z pochodnych. Dziwne uczucie zdawać to samo kolejny raz po 7 latach :)

[M.....i]

@Navrazz: Dzięki. :) A co do dziwnego uczucia na studiach, to ja się dziwnie czuję robiąc programy w c++ mające rysować prostokąty w konsoli na kolokwium (dzisiaj miałem akurat i takie było zadanie) :)

[crushyna]

@Mrodzi: @Navrazz: @Rissiel: Wy tu pitu pitu, a ja liczę dalej :<
Parę kolejnych zadań kolejny zonk. Nie ogarniam tego zbytnio. Czyste pochodne liczę od ręki, ale z tymi granicami to mam jakiś sajgon.

Próbowałem rozbić te 10^x na niesłynny wzór a^b =e^blna, ale nadal nic mi nie wychodzi.
Ostatnie zadanko na dzisiaj (mile widziane całe obliczenie) i idę w coś pograć, bo nie wytrzymie ( ͡° ͜

[R.....l]

@crushyna: Jak nie znasz reguły de l'Hospitala można to zadanie rozwiązać w trochę inny sposób. Wiemy(wiemy?), że funkcja ta jest ciągła w swojej dziedzinie więc możemy badać konkretnymi ciągami. niech a _ n = 1 + 1/n

[Navrazz]

@crushyna: o kutfa, nie ogarnąłem że to Ty jesteś OP a nie @Mrodzi :D Chcesz jeszcze rozwiązanie tego zadania, które wrzuciłeś wcześniej czy już sobie poradziłeś?

[crushyna]

@Rissiel: dejupitala znamy (znamy!), ale tego co zamierzasz zrobić to nie czaję :/
@Navrazz: Taak, już rozwiązałem ;)

[M.....i]

@Navrazz: No w sumie tak się trochę na chama wpierdzieliłem, przepraszam @crushyna. :) A co do zadania, to na pierwszym terminie miałem coś a'la (3^(x+2) - 2^(x+3))/(3^x + 2^x). Nie zrobiłem... :/

[Navrazz]

@Mrodzi: spoko, to ja nie zauważyłem :) A (a^x)' = a^xlna :D

[crushyna]

@Mrodzi: @Navrazz: @Rissiel: Idąc dalej, dotarłem do takiego momentu.
I wszystko by było fajnie, gdyby nie to, że 10^x za każdą pochodną mnoży się na pęczki, i mi jakieś kosmosy się rodzą :/

[Navrazz]

@crushyna: no i teraz pomnóż 6x przed odwrotność mianownika i jeszcze raz de Hospital. Usuniesz x z licznika i już nie będziesz miał wyrażenia nieoznaczonego.

[crushyna]

@Navrazz: DAMN SON.
PIJ ZE MNO KOMPOT.

W sumie pochodnej już z mianownika nawet nie muszę liczyć, bo w liczniku mam stałą, a stała przez niesk. to 0 :)
A to wynik poprawny.
Kocham was :*

[Navrazz]

@crushyna: na zdrowie :D

[R.....l]

@crushyna: Wiesz jak udowodnić, że gdy a jest liczbą większa od 1 to od pewnego miejsca a^x>x^a? Bo jeśli tak, to możesz tutaj skorzystać z twierdzenia o 3 funkcjach. x^3/10^x jest na liczbach nieujemnych ograniczone z dołu przez zero. Natomiast od pewnego miejsca korzystając z wyżej podanej definicji zachodzą takie nierówności 00 gdy x zbiega do nieskończoności więc i bazowa funkcja zbiega do 0.

[crushyna]

@Rissiel: Czyli mówiąc krócej, mogłem od początku założyć, że mianownik będzie dążył do nieskończoności, i liczyć tylko pochodne z licznika?

[R.....l]

@crushyna: Nie nie. To nie na tym polega. Twierdzenie o trzech funkcjach jest analogiczne do twierdzenia o trzech ciągach. Jeśli jakieś funkcje tak jakby ściskają inną i obydwie są zbieżne do tej samej liczby, to i ta funkcja również musi być zbieżna do niej. To tak jakby szło trzech braci wracało z imprezy i ten w środku był pijany, to tych dwóch trzymając go pod pachą i idąc do domu sprawiają,