Ktoś w internecie rzucił takim problemem, spróbowałem go rozwiązać i w... (@fizyk20)

Ktoś w internecie rzucił takim problemem, spróbowałem go rozwiązać i w sumie ciekawie wyszło, więc stwierdziłem, że to opiszę.

Wyobraźmy sobie, że mamy urządzenie, w którym foton porusza się po okręgu o jakimś promieniu R. Jak to foton, porusza się po tym okręgu z prędkością c.

Następnie wyobraźmy sobie, że to urządzenie ładujemy na rakietę i tę rakietę wysyłamy w kosmos z dużą prędkością v. Pytanie brzmi: jak wygląda ruch fotonu w urządzeniu z punktu widzenia obserwatora z zewnątrz?

No to liczymy.

Ruch fotonu w układzie rakiety to po prostu ruch po okręgu:

x'(t') = R cos(ωt')
y'(t') = R sin(ωt')
gdzie ω = c/R (bo prędkość liniowa fotonu równa ωR jest c).

To teraz transformujemy to do układu zewnętrznego przez transformację Lorentza:

x = ɣ (x' + vt')
y = y'
t = ɣ (t' + v/c² x')
gdzie ɣ = 1/√(1-v²/c²)
Chcielibyśmy wyrazić x i y jako funkcje czasu obserwatora zewnętrznego x(t), y(t). Z transformacji Lorentza łatwo dostajemy je jako funkcje czasu w rakiecie t':

x(t') = ɣ (x'(t') + vt') = ɣ (R cos(ωt') + vt')
y(t') = y'(t') = R sin(ωt')
Pozostaje wyrazić t' jako funkcję t i wstawić do tych równań. Tylko jak się okazuje, tu się zaczynają schody.

Mamy bowiem:

t = ɣ (t' + v/c² x')
Wstawmy x'(t'):

t = ɣ (t' + v/c² R cos(ωt'))
Teraz chcielibyśmy to odwrócić i wyciągnąć t' na jedną stronę, a po drugiej mieć jakąś funkcję t. Niestety - to się nie uda. Równanie powyżej jest równaniem przestępnym i jest nierozwiązywalne analitycznie, tzn. nie da się wypisać rozwiązania w formie t' = f(t).

Ale to nie znaczy, że rozwiązanie nie istnieje. Podobny problem pojawia się zresztą w analizie orbit ciał niebieskich: https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_Keplera
Takie problemy są rozwiązywalne numerycznie. Czyli co prawda nie wypiszemy t' jako funkcji t, ale mając konkretne wartości, możemy do pracy zaprząc komputer i kazać mu znaleźć liczbę spełniającą równanie wyżej.

A skoro już angażujemy komputer, to można mu kazać wyliczyć pozycje fotonu w różnych chwilach czasu i zrobić z tego animacje: https://imgur.com/a/RwEjOLn

Co na tych animacjach widać?

Po pierwsze, okrąg podlega skróceniu Lorentza i staje się elipsą. Z naszego punktu widzenia foton porusza się po przesuwającej się elipsie.

Po drugie, wydaje się, że ruch fotonu jest niejednostajny, ale to tylko złudzenie. Tak naprawdę foton porusza się po niebieskiej krzywej cały czas z prędkością c. Tylko ze względu na to, że raz porusza się w tę samą stronę co elipsa, a raz przeciwnie, dłużej pozostaje w dolnej części elipsy niż w górnej. I to wydaje się kłócić z tym, że przecież w układzie rakiety porusza się jednostajnie po okręgu, ale tak naprawdę się nie kłóci.

Poniekąd jest to sprawka względności jednoczesności. Tzn. gdybyśmy na okręgu po którym lata foton zamontowali zegary zsynchronizowane w układzie rakiety, patrząc z zewnątrz, widzielibyśmy, że zegary na przodzie rakiety pokazują wcześniejszy czas niż zegary z tyłu. Tak więc foton przesuwając się z tyłu elipsy na przód przesuwa się we "wcześniejszy czas", co daje nam złudzenie wolniejszego ruchu. I na odwrót, przesuwając się z przodu na tył, przesuwa się w "późniejszy czas", co daje złudzenie przyspieszenia. A wraz z ruchem elipsy wszystko składa się do stałej prędkości c w naszym układzie odniesienia.

Ot, taka ciekawostka ;)

#fizyka #nauka #teoriawzglednosci #ciekawostki #gruparatowaniapoziomu #fizyk20content

kotwica407

21.03.2022, 17:20:53 via Wykop Mobilny (Android)

@fizyk20: zajebiste

fizyk20

21.03.2022, 17:30:22

@kotwica407: Dzięki ;)

21.03.2022, 17:41:22 via Wykop Mobilny (Android)

@fizyk20: kiedyś zrobiłem coś podobnego. Wyliczyłem wzory na linie geodezyjne na sferze ucząc się wyprowadzenia ogólnej teorii względności i wzory podobnie jak twoje nie dały się rozwiązywać analitycznie. Ale wrzuciłem do matlaba i pięknie wtedy rysowało południki