[a.....r]

#zagadkilogiczne #zagadkimatematyczne

Znajdź wszystkie liczby naturalne n spełniające warunki:

a) n^13 ma taką samą ostatnią cyfrę jak n.

b) Suma cyfr n^13 jest równa sumie cyfr n^31 (uwaga: jeśli suma cyfr którejś liczby wyjdzie co najmniej dwucyfrowa, to liczymy sumę cyfr powstałej liczby, jeśli znów wyjdzie co najmniej dwucyfrowa to znów liczymy sumę cyfr tej powstałej liczby itd. aż otrzymamy liczbę jednocyfrową)

c) n^13-n dzieli się przez 13.

Wyjaśnienie ad b) Jeśli mamy np. liczbę 1244753, to robimy tak: 1+2+4+4+7+5+3=26, a potem 2+6=8 i dopiero ta wartość nas interesuje.

[a.....r]

@akurczak: zgadza się. W zasadzie punkt a) dało się też zrobić inaczej, trochę bardziej, że tak powiem, łopatologicznie, ale takie bardziej formalne rozwiązanie jest tym bardziej OK.

[akurczak]

@almafater: Tyle myślenia, a okazało się takie oczywiste. Przecież każda liczba daje z dzielenia przez 9 tę samą resztę co suma jej cyfr (co łatwo udowodnić, a dowód jest choćby na wikipedii w artykule o cechach podzielności, więc nie będę przepisywał) A zatem taką samą co suma sumy cyfr i tak dalej, czyli ta reszta jest tą "sumą" opisaną w podpunkcie b, gdzie resztę 0 traktujemy jako sumę 9.

Zatem wystarczy

[argothiel]

@almafater:

Wszystko idzie z twierdzenia Eulera:

a) n^4 = 1 (mod 10), zatem n^13 = n (mod 10).

b) Przy założeniu, że n != 0 (n == 0 jest oczywiste):

n^6 = 1 (mod 9), zatem (n^31 - 1) mod 9 + 1 = (n^13 - 1) mod 9 + 1,

gdzie (k -1) mod 9 + 1 to wzór na iterowaną sumę cyfr.

c) n^12 = 1 (mod 13), zatem

[a.....r]

@akurczak: Tak. Swoją drogą, to co jest robione w punkcie b), po angielsku nazywa się digital root: http://en.wikipedia.org/wiki/Digital_root.

@argothiel: Nie wyciągnąłeś tutaj jakichś wniosków zbyt wcześnie?

n^4=1 (mod 10) nie jest prawdą dla n=2.

[argothiel]

@almafater: Cholera, było jakieś takie uogólnienie, w którym nie trzeba było się przejmować względną pierwszością liczb.