[a.....r]

#zagadkilogiczne #zagadkimatematyczne

Znajdź wszystkie liczby naturalne n spełniające warunki:

a) n^13 ma taką samą ostatnią cyfrę jak n.

b) Suma cyfr n^13 jest równa sumie cyfr n^31 (uwaga: jeśli suma cyfr którejś liczby wyjdzie co najmniej dwucyfrowa, to liczymy sumę cyfr powstałej liczby, jeśli znów wyjdzie co najmniej dwucyfrowa to znów liczymy sumę cyfr tej powstałej liczby itd. aż otrzymamy liczbę jednocyfrową)

c) n^13-n dzieli się przez 13.

Wyjaśnienie ad b) Jeśli mamy np. liczbę 1244753, to robimy tak: 1+2+4+4+7+5+3=26, a potem 2+6=8 i dopiero ta wartość nas interesuje.

[applicative_functor]

@almafater: 1

[akurczak]

@almafater: A także 10

[G.....n]

Stwierdziłem, że robienie zagadek matematycznych jest bez sensu, bo przychodzi @applicative_functor i je rozwiązuje.

[archive]

@applicative_functor: 1^13-1 dzieli się przez 13?

[a.....r]

@applicative_functor: @akurczak: @Ginden: Ups. Zjadło mi jedno istotne słowo w treści.

Miało być "znajdź wszystkie". Zaraz zedytuję.

[applicative_functor]

@archive: 0/13 = 0, tak dzieli się

[kontra]

@almafater: a) wszystkie ;>

[archive]

@applicative_functor: Racja.

[akurczak]

@almafater: 10^k dla dowolnego naturalnego k.

[kontra]

@kontra: Ach, nie przeczytałem całej treści zadania ;]

[Xax92]

Dwójka działa.

Zero również.

Tera szukać reszty.

[maciejkack]

@almafater: Mógłbyś uściślić, żeby w c) było, że dzieli się bez reszty, bo o to chyba chodzi.

[akurczak]

@almafater: Kontra słusznie pisze, tylko to powinno dotyczyć nie a) a całości: wszystkie naturalne.

[Xax92]

@almafater: Wychodzi na to, że wszyskie jednocyfrowe liczby naturalne spełniają ten warunek.

[m.....9]

@almafater: sprawdziełm 20000 - wszystkie spełniają

[a.....r]

@akurczak: Potrafisz uzasadnić (udowodnić), że wszystkie naturalne?

[G.....n]

Tak, wszystkie naturalne.

Pytanie za 100 punktów - dotyczy to tylko podstawy 10, czy zapisane dwójkowo też spełniają te warunki?

[akurczak]

@almafater: Warunek c to małe twierdzenie Fermata, co do reszty to zaraz spróbuję uzasadnić bawiąc się kongruencjami.

[a.....r]

@akurczak: tak, +1/3 pktu za zauważenie, że to małe twierdzenie Fermata ;-)

[akurczak]

@almafater: No to a: n^13 przystaje do n modulo 10, czyli n(n^12-1) przystaje do 0 modulo 10, czyli 10 dzieli n^13-n

Możemy sobie rozłożyć n(n^12-1) = (n-1)n(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)(n^2+1)(n^4-n^2+1) ostatni czynnik też do rozłożenia,, ale nie potrzebujemy.

Mamy n-1, n, n+1 - stąd któraś na pewno dzieli się przez 2. Jeśli któraś dzieli się też przez 5 to mamy podzielność przez 10, jak nie, to mamy n=5m+2 lub n=5m+3 dla pewnego m naturalnego.