[nicrovishion]

Ostatnio na zajęciach prowadzący zapytał się, po obliczeniu wyznacznika macierzy, który był różny od zera o to, czy kolumny tej macierzy są liniowo zależne, oraz czy wiersze tej macierzy są liniowo zależne. Po błędnej odpowiedzi nie raczył odpowiedzieć jaka jest prawidłowa odpowiedź. Jak to jest?
#matematyka

[nicrovishion]

@Hankete: dzięki, ale ja nadal nie rozumiem jak się ma osobliwość/nieosobliwość macierzy do tego w jakiej relacji są kolumny i wiersze macierzy (czy są liniowo zależne czy niezależne)

[Hankete]

@nicrovishion: Weźmy sobie macierz A, taką że ma wiersze zależne. Odejmowanie/dodawanie wierszy pomnożonych przez stałą, to mnożenie przez macierz operacji elementarnych, które nie zmieniają wyznacznika, bo A1=A*E, gdzie A1 to nowa macierz, a E to macierz operacji elementarnych(a ta ma wyznacznik 1). Skoro jakiś wiersz jest kombinacją liniową innych, to poprzez odejmowanie/dodawanie wierszy pomnożonych przez stałą jesteś w stanie ten wiersz wyzerować. Jakakolwiek macierz z zerowym wierszem, ma zerowy wyznacznik.

[kolnay1]

@nicrovishion: Jak wyznacznik jest różny od zera, to macierz ma maksymalny rząd (maksymalny jaki może mieć czyli równy liczbie wierszy/kolumn), a w związku z tym wszystkie wektory składające się na wiersze/kolumny są liniowo niezależne (definicja rzędu).

[kyaroru]

@nicrovishion: Jeśli "algebraiczny" rachunek nie pomaga Ci wyrobić intuicji, to jeśli przez μ(P) oznaczymy n-wymiarową objętość (cokolwiek by to nie było) równoległościanu P, to wyznacznik mówi nam jak się ma objętość równoległościanu do równoległościanu po potraktowaniu go przekształceniem liniowym, konkretnie μ(AP) = |det A| μ(P) (na przykład odwzorowanie liniowe płaszczyzny o wyznaczniku 2 przekształca równoległobok o polu 1 na równoległobok o polu 2). Teraz przypomnij sobie, że kolumny macierzy przekształcenia

[kolnay1]

@kyaroru: Tak, tu można sobie zobaczyć to o czym mówisz: https://www.youtube.com/watch?v=Ip3X9LOh2dk

[kyaroru]

@kolnay1: O, dzięki, może się przyda nicrovishionowi - ładny materiał od kogoś kto ma lepszy interfejs człowiek-student niż ja;) Wyznacznik jest upierdliwy dydaktycznie - definicje które da się szybko podać albo są czysto obliczeniowe (przez rozwinięcie Laplace'a/sumę po permutacjach) albo zbyt abstrakcyjne dla studenta pierwszego roku (jedyna k-forma na F^k taka, że [...]) i nie bardzo z nich widać coś ponad "narzędzie do sprawdzania czy wektory są liniowo zależne", a