[p.....r]

Mirki, uczę się do #matura i trafiłem na ciekawe ( ͡° ͜ʖ ͡°) zadanie, jak wykazać, że wielomian w(x)= x^5 + 4x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 3^120 nie ma pierwiastków wymiernych?
#januszematematyki #matematyka

[kodekscywilny]

@pitir: lol. jestem już kilka lat po maturze i nie pamiętam co to są pierwiastki.( ͡° ʖ̯ ͡°)

[japer]

@pitir: Dzielnik wyrazu wolnego podzielony przez dzielnik najwyższego wyrazu jest potencjalnym miejscem zerowym. ( ͡° ͜ʖ ͡°)

[s.....i]

@kodekscywilny: rozwiązania

[p.....r]

azu wolnego pod

@japer: a następnie sprawdzić jedynie 120 pierwiastków ujemnych ( ͡° ͜ʖ ͡°), bo te dodatnie i tak nie zadziałają...

[michalek21]

@pitir: pierwiastki wymierne to bedzie p/q gdzie p=1 lub -1 a q to dzielnieki 3^120 czyli wszyskie ewentualnie pierwiastki wymierne sa w przedziale -1 do 1. teraz liczysz pochodna i pewnie funkcja jest stale rosnaca albo malejaca w tym przedziale liczysz skrajne wartosci wielomianu dla -1 i 1 i obie sa dodatnie, na podstawie tego ze w tym przediale funkcja jest rosnaca, nie moze tam byc miejsc zerowych. Wydaje mi sie,

[p.....r]

@michalek21: na odwrót... dzielniki ostatniego współczynnika, przez dzielniki pierwszego współczynnika...
http://matematyka.pisz.pl/strona/121.html

[japer]

@pitir: Twierdzenie Darboux. ( ͡° ͜ʖ ͡°)

[michalek21]

@pitir: hmm w takim razie musisz udowodnic, że 3^k i -3^k nie jest dzielnikiem tego wielomianu, a k moze nalezec od 1 do 120

[p.....r]

@japer: jeśli zgadnę z Wolframem gdzie jest to miejsce zerowe to tak :)

[kurczaaak]

@pitir: Ile rozwiązań ma rownanie
2x^3-x^2+x+5=0
a zoba to ( ͡° ʖ̯ ͡°)

[michalek21]

@pitir: ok to tak pierwiastek nie moze byc dodatni, bo jak podstawisz wszedzie dodatnie liczby do potegi i tam jest samo dodawanie to nie bedzie nigdy rowne zero, więc zostaje tylko opcja taka, że w(x) dzieli się przez -(3)^k podstaw to za x i policz

[p.....r]

@kurczaaak: przynajmniej jedno (⌐ ͡■ ͜ʖ ͡■)

[kurczaaak]

@pitir: a to miało być podchwytliwe (╯︵╰,)

[michalek21]

@pitir: tak samo rozwiazuja to na zadania.info, powodzenia w ostatnich 3 zadniach

[p.....r]

@michalek21: dobra, rzeczywiście elegancko idzie z tym -3^k wielkie dzięki
można wiedzieć o jakie zadania chodzi? bo to dostałem tak w sumie "z dupy"

[michalek21]

zadanie 13.

http://www.zadania.info/97891

[p.....r]

@michalek21: meh, reszta prosta ( ͡° ͜ʖ ͡°)

[p.....n]

@kurczaaak: Podstawowe twierdzenie algebry - wielomian ma tyle pierwiastkow ile wynosi stopień wielomianu. Tyle, że rozwiązania są niekoniecznie rzeczywiste.

[domix2t]

@pitir mógłbyś dokładniej wytłumaczyć jak to zrobić :D?

[p.....r]

@domix2t: z tw o pierwiastkach wymiernych wielomianu otrzymuje ze wielomian moze miec pierwiastki ze zbioru {+-1; +-3; +-3^2 ... +-3^120}
Jako ze caly wielomian jest suma to odrzucam te dodatnie pierwiastki, zostaja mi wiec -1, -3, -3^2, ... -3^120. Sa to liczby postaci -(3)^k gdzie k= 0, 1, 2, ... 120.
Teraz po podstawieniu do wielomianu -(3)^k i przyrowaniu go do zera wychodzi jakis stworek ktory jest prawdziwy dla k nienalezacego