Wpis z mikrobloga

@Ajen: Teoretycznie to powinno przejść. Odcinek jest równoliczny z R, więc iloczyn dwóch odcinków będzie równoliczny z R^2, a że iloczyn dwóch odcinków jest równoliczny z jednym odcinkiem, to, z przechodniości równoliczności, mamy, że R jest równoliczny z R^2.
  • Odpowiedz
@Ajen: Znam masę dowodów tego faktu, aż ciężko wybierać. Chyba najładniejszy obiera się na tym, że

R ~ {0,1}^N ~ {0,1}^N x {0,1}^N ~ RxR
.

Teraz tylko skąd się bierze druga równoliczność:

Z funkcji

f: N->{0,1}
robimy parę funkcji

(g1,g2): g1(n) = f(2n) i g2(n) = f(2n+1)
Takie przekształcenie jest oczywiście różnowartościowe i "na".

Swoją drogą prawdziwe jest dużo silniejsze twierdzenie: Jeśli przynajmniej jeden ze zbiorów

A, B
jest nieskończony,
  • Odpowiedz
@Ajen: Mozesz posluzyc sie arytmetyka liczb kardynalnych.

niech C oznacza 'continuum' a A 'alef 0'

Wiemy ze C = 2^A oraz A = A+A wiec

moc RxR = CxC= (2^A) x (2^A) = 2^(A+A) =2 ^A = C = moc R
  • Odpowiedz