[Ajen]

#matematyka

Ma ktoś pomysł jak wykazać równoliczność R^2 z R? Bania mi już paruje i nie mam żadnego sensownego pomysłu : (

[alwaysloveyou]

@Ajen: ło boziu

[Ajen]

@alwaysloveyou: Znalazłem takie coś:

http://www.math.uni.wroc.pl/~newelski/dydaktyka/wdm-A/skrypt3/skrypt/node12.html

Chyba się nada, chodzi o przykład 5. Skoro (0;1) jest równoliczny z (0;1)x(0;1), (0;1) z całym R, a (0;1)x(0;1) z R^2 to będziemy też mieli równoliczność R z R^2, ale nie podoba mi się to rozwiązanie ( ͡° ʖ̯ ͡°)

[alwaysloveyou]

@Ajen: choopie, ja nawet nie wiem co to #matmaciemnamasa

[michalo94]

@Ajen: Teoretycznie to powinno przejść. Odcinek jest równoliczny z R, więc iloczyn dwóch odcinków będzie równoliczny z R^2, a że iloczyn dwóch odcinków jest równoliczny z jednym odcinkiem, to, z przechodniości równoliczności, mamy, że R jest równoliczny z R^2.

[Jakubussimus]

@Ajen: Może być, inną ciekawą bijekcją odcinka [0,1] na kwadrat [0,1]^2 jest krzywa Peano.

[extern-int]

@Ajen: Znam masę dowodów tego faktu, aż ciężko wybierać. Chyba najładniejszy obiera się na tym, że

R ~ {0,1}^N ~ {0,1}^N x {0,1}^N ~ RxR

.

Teraz tylko skąd się bierze druga równoliczność:

Z funkcji

f: N->{0,1}

robimy parę funkcji

(g1,g2): g1(n) = f(2n) i g2(n) = f(2n+1)

Takie przekształcenie jest oczywiście różnowartościowe i "na".

Swoją drogą prawdziwe jest dużo silniejsze twierdzenie: Jeśli przynajmniej jeden ze zbiorów

A, B

jest nieskończony,

[RVifon]

@Ajen: Mozesz posluzyc sie arytmetyka liczb kardynalnych.

niech C oznacza 'continuum' a A 'alef 0'

Wiemy ze C = 2^A oraz A = A+A wiec

moc RxR = CxC= (2^A) x (2^A) = 2^(A+A) =2 ^A = C = moc R