Aktywne Wpisy
kogi +14
Według odtajnionego nieaktualnego już tuskowego planu obrony kraju przed ruskim najazdem zaznaczony na czerwono obszar miał wpaść BEZ WALKI w ręce ruskich. Obrona miała skupiać się wyłącznie na granicy rzeki Wisła.
Tusk gotów był bez walki poświęcić 15 mln rodaków, żeby bronić Berlin.
Zestawiając to z Ukrainą, która walczy o każdy kawałek swojego terytorium, plan ten można nazywać ZDRADĄ NARODOWĄ.
Już na taśmach prawdy mówili gdzie mają Polskę Wschodnią, bo nie byli
Tusk gotów był bez walki poświęcić 15 mln rodaków, żeby bronić Berlin.
Zestawiając to z Ukrainą, która walczy o każdy kawałek swojego terytorium, plan ten można nazywać ZDRADĄ NARODOWĄ.
Już na taśmach prawdy mówili gdzie mają Polskę Wschodnią, bo nie byli
Klimbert +172
Aktywne Znaleziska
Jaka jest szansa, że wśród 23 osób co najmniej dwie mają urodziny tego samego dnia?
Odpowiedź jest zaskakująca na pierwszy rzut oka. Otóż prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi około 50%. Zdecydowana większość przepytanych przeze mnie studentów matematyki (oczywiście bez dłuższego czasu na zastanowienie) nawet nie zbliżyła się do tego wyniku. Sam byłem tym faktem początkowo zaskoczony. Zjawisko to nazywane jest 'Paradoksem urodzinowym'. Przeanalizujmy dlaczego ma on miejsce.
Siła potęgowania
Rozważmy prosty przykład. Mamy 10 rzutów monetą. Jaka jest szansa, że wyrzucimy 10 orłów ? Można by pomyśleć, że skoro szansa wyrzucenia 1 orła w 1 rzucie to 50%, to prawdopodobieństwo jest 10 razy mniejsze i wyniesie 5%. Oczywiście nie jest to prawdą. Do obliczenia musimy użyć potęgowania. Szansa wyrzucenia 10 orłów w 10 kolejnych rzutach to (0,5)^10=0,1% (w przybliżeniu). Wynik nie jest nawet bliski otrzymanemu wcześniej.
Ludzie są egoistami
Kolejną przeszkodą na drodze to poprawnego rozwiązania jest nasz egoizm. Założę się, że zdecydowana większość z Was, po przeczytaniu pytania, pomyślała o sobie i 22 pozostałych osobach, które mogą mieć urodziny tego samego dnia co Wy. Nie pomyśleliście o 231 połączeniach, gdzie data urodzin każdej osoby jest porównywana z każdą z pozostałych. Fakt, że już na początku odrzuciliśmy 90% przypadków pomaga nam zrozumieć dlaczego ów paradoks zachodzi.
Matematyczny punkt widzenia
Nasze pytanie brzmi: Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej 2 osoby z 23 mają urodziny tego samego dnia ?
Możemy porównywać każdą z każdą, ale to nie jest najlepszy pomysł. Obejdźmy trochę ten problem, żeby ułatwić sobie życie. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 lub więcej orłów w 23 rzutach ? Jest tak wiele możliwości, że sprawdzanie ich trwałoby bardzo długo. Zamiast tego możemy policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: szansę, że nie wyrzucimy żadnego orła (jak wcześniej zauważyliśmy 0,5^23) i wynik odjąć od 1. Ostatecznie mamy 1-0,5^23.
Takiej samej metody użyjemy do naszego paradoksu. Poszukamy prawdopodobieństwa, że każda osoba urodziła się tego samego dnia. Przyjmijmy, że rok ma 365 dni. Dla pierwszej osoby mamy do wyboru 365 dni, dla drugiej 364, dla trzeciej już tylko 363 i tak dalej. Liczymy prawdopodobieństwo i upraszczamy nieco, by nasz kalkulator przyjął skondensowaną dawkę matematyki.
Wynik, już nie tak zaskakujący, to 50%.
Co ciekawe, jeśli w pokoju umieścimy 75 osób, to prawdopodobieństwo rośnie do 99,9%.
Powinno być chyba:
Bo na to dalsze obliczenia wskazują.