[Zacny_Los]

Dla jakich wartości parametru p należącego do R układ ma niezerowe rozwiązania? Wyznaczyć te rozwiązania.

(1-p)x+2y+z=0
x + (2-p)y+z=0
x+2y+(1-p)z=0

Metodą Sarrusa otrzymuję, że wyznacznik macierzy głównej = 0 gdy p = 0 lub p = 4.
Co dalej? Co to znaczy niezerowe rozwiązania, tak właściwie?

#matematyka #algebra #kiciochpyta #pytaniedoeksperta #pytanie

[kolnay1]

Co to znaczy niezerowe rozwiązania, tak właściwie?

@Zacny_Los: zauważ, że dla dowolnego p (x,y,z)=(0,0,0) byłoby rozwiązaniem tego układu równań. To jest zerowe rozwiązanie. Chodzi o to, żeby ustalić dla jakich p układ równań będzie miał też jakieś inne rozwiązania (tzn. niezerowe).

[Zacny_Los]

@kolnay1: czyli na pewno nie będzie to ani p=0 ani p=5...?


Rozwiązać metodą Cramera nie możemy, więc Twierdzenie Kroneckera-Capellego:
Gdy rząd macierzy A = rzędowi Uzup. = 2 lub 1, mamy nieskończenie wiele rozw. zależnych od 1 lub 2 parametrów.
A dla rz A = rz U = 3, mamy jedno rozwiązanie.
Zakładając, że p różne od 0 i 5, rz A = 3?
Co mam teraz właściwie zrobić? :/

Kurczę,

[kolnay1]

@Zacny_Los: Moim zdaniem wręcz przeciwnie. Kiedy wyznacznik główny ci się zeruje, to układ może być albo sprzeczny albo nieoznaczony. Wiemy, że ma rozwiązanie (to zerowe), a więc sprzeczny nie jest. To znaczy, że gdy p=0 albo p=5, to jest nieoznaczony, a więc istnieją rozwiązania niezerowe.

Z kolei w wypadku kiedy wyznacznik główny się nie zeruje, to układ jest oznaczony. Oznacza to, że ma rozwiązanie, ale jedno. Wiemy, że jednym z rozwiązań

[Zacny_Los]

Co stąd wynika w temacie istnienia innych, niezerowych rozwiązań?

@kolnay1: Że gdy detA != 0, czyli dla p = 0 lub p = 5, jedynym rozwiązaniem jest x=0,y=0,z=0, układ oznaczony, ma jedno rozwiązanie.
A gdy detA = 0, czyli dla p = 0 lub p = 5, mamy:

2x+y+2z=0 (p=0) (i co teras?)

albo (p=5)
3x-y-2z=0
2x-4y+2z=0
2x+y-3z=0, stąd wychodzi, że 0=0, układ tożsamościowy?

Hmm...

Czyli: Układ nie ma niezerowych rozwiązań.

[kolnay1]

2x+y+2z=0 (p=0) (i co teras?)

@Zacny_Los: Skąd się to wzięło? Jak p=0, to każde równanie w tym układzie równań będzie wyglądało tak samo. Generalnie ważne że jak W się zeruje to wyjdzie układ nieoznaczony, bo w tym zadaniu interesuje cię jedynie to, żeby miał niezerowe rozwiązania, a to już powinieneś wiedzieć.