[Blomex]

#matematyka
Dla jakich parametrów a całka w granicach od 0 do 2 postaci sin(x^2)/x^a jest zbieżna?
na pewno z góry można ją ograniczyć przez całkę z 1/x^a, która w tych granicach jest równa:
2^(a-1)/(a-1) dla a=/=1 i nie jest zbieżna dla a=1 (bo ln0 ->-inf).
Dobrze myślę czy źle? Jak podejść do tego zadania?
Mój drugi pomysł:
szukamy funkcji g takiej, że lim x->0 f(x)/g(x) = 1, żeby wyjść jakoś z kryterium asymptotycznego.
okazuje się że taka funkcje g(x) to 1/(x^(a-2)), bo lim x->0 sin(x^2)/x^2 *1/x^(a-2)g(x) = 1, czyli g(x) = 1/x^(a-2). no i wtedy wystarczy sprawdzić kiedy całka 1/x^(a-2) jest zbieżna, czyli dla a=/=3. Które rozumowanie jest poprawne? Wolfram mówi, że to drugie, ale wolę się upewnić.

[baronsob]

@Blomex: 1 metoda napewno zła bo za grube oszacowanie. Taylorem wez sinusa, i masz ze dla a=3, 7, 11 i tak dalej. Tak mi się wydaje

[Blomex]

@baronsob: faktycznie, taylor działa. Tylko pozostaje pytanie, czy to wszystkie takie a są postaci a=3+4k, czy są jeszcze jakieś.

[baronsob]

@Blomex: Powiedzialbym ze tyle

[a.....r]

@Blomex: oczywiście, że to drugie podejście jest dobre (choć końcowy wynik zły). Czemu niby taka całka miałaby być zbieżna tylko dla całkowitych wartości a?