[important_sample]

Teoria mocy: równoliczność zbioru liczb parzystych i naturalnych oraz różne nieskończoności

Jak sprawdzić czy dwa zbiory mają tę samą liczbę elementów, jeśli nie potrafimy liczyć? Proste, wystarczy połączyć elementy różnych zbiorów w pary i jeśli żaden element nie pozostanie bez pary to zbiory są równoliczne. Jak się okaże, definicja oparta na tej zasadzie może doprowadzić do dosyć nieintuicyjnych wniosków.

Opisane wcześniej przyporządkowanie elementów jednego zbioru do drugiego zrealizujemy za pomocą funkcji. W matematyce funkcją, która spełnia wymagane przez nas założenia nazywamy bijekcją. Jest to funkcja różnowartościowa (iniekcja) oraz "na" (surjekcja) jednocześnie. Różnowartościowość oznacza, że funkcja przyporządkowuje różnym elementom różne wartości. Surjekcja gwarantuje, że nie ma elementu zbioru docelowego, któremu nie zostanie przypisany żaden element pierwszego zbioru. Innymi słowy, wszystkie elementy są "pokryte".

Dla przykładu weźmy funkcję f(x) = x^2 ze zbioru liczb rzeczywistych na zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja ta nie jest "na", ponieważ nie istnieje taka liczba rzeczywista, której kwadrat byłby równy -1. Nie jest ona również różnowartościowa, bo f(-1) = f(1) = 1. Przykładami funkcji, które są bijekcjami mogą być: funkcja f(x) = -x zdefiniowana na tych samych zbiorach co poprzednia lub xd: {1, 2, 3} -> {a, b, c}, taka że xd(1) = a, xd(2) = b, xd(3) = c.

Liczbę elementów zbioru A, nazywać będziemy jego mocą, ozn. |A|. Jeśli A = {p, w, k, o, y} to |A| = 5 - proste. O ile elementy zbiorów skończonych łatwo jest policzyć, sprawy komplikują się przy zbiorach nieskończonych. Weźmy na przykład zbiór liczb naturalnych N = {1, 2, 3, ...}. Jaka jest jego moc? No niby nieskończoność, więc kusi zapisać |N| = ∞ i odpalić CSka, ale sprawa nie jest taka prosta. Porównajmy ten zbiór z liczbami parzystymi P = {2, 4, 6, ...}. Wydaje się, że liczb parzystych jest mniej (niektórzy pewnie powiedzą, że dwa razy mniej), bo przecież brakuje 1, 3 i tak dalej, ale nie zapominajmy o naszej intuicyjnej definicji równoliczności zbiorów. Jeśli tylko uda nam się znaleźć bijekcję między zbiorem liczb naturalnych i parzystych to udowodnimy, że zbiory te są równoliczne. No to spróbujmy z f(x) = 2x ( ͡° ͜ʖ ͡°)

Sprawdźmy czy funkcja jest różnowartościowa. Załóżmy, że istnieją takie dwie liczby naturalne x1 i x2, którym funkcja przypisuje takie same wartości, czyli f(x1) = f(x2). Z definicji funkcji mamy 2x1 = 2x2, skracamy 2 po obu stronach i wychodzi x1 = x2. Czyli jeśli funkcja daje taką samą wartość dla dwóch liczb to liczby te są sobie równe, więc funkcja jest różnowartościowa.

A co z surjekcją? Wiemy, że wszystkie liczby parzyste możemy zapisać jako wielokrotności dwójki, czyli 2n dla naturalnego n. No ale właśnie tak wyglądają wartości naszej funkcji, więc nie jest możliwe, żeby jakaś liczba została pominięta.

Wnioskujemy zatem, że liczb parzystych jest tyle samo co naturalnych. Może zatem wszystkie zbiory nieskończone są równoliczne? Porównajmy więc zbiór liczb naturalnych z podzbiorem liczb rzeczywistych (0, 1).

Załóżmy, że istnieje bijekcja między tymi zbiorami. Oznaczałoby to, że wszystkie liczby rzeczywiste między 0 a 1 możemy zapisać w liście etykietowanej kolejnymi liczbami naturalnymi:

1 0.49366596596283569238...
2 0.96568356836586326286...
3 0.58356199672368036699...
4 0.12476487646289626014...
...

Pokażemy, że taka kompletna lista liczb nie może istnieć. Stwórzmy nową liczbę w taki sposób, że na i-tej pozycji po przecinku weźmiemy i-tą liczbę po przecinku z i-tego wiersza naszej listy i dodamy do niej 1 (lub odejmiemy, jeśli liczbą jest 9), czyli z pierwszego wiersza weźmiemy 4 i wpiszemy 5, z drugiego 6, zapisujemy 7 i tak dalej:

1 0.49366596596283569238...
2 0.96568356836586326286...
3 0.58356199672368036699...
4 0.12476487646289626014...
...

W ten sposób powstanie liczba zaczynająca się od 0.5748... Ze względu na to, że tak skonstruowana liczba różni się od każdego z wierszy na co najmniej jednej pozycji, mamy gwarancje, że liczba ta jest różna od wszystkich innych i nie mogła znajdować się wcześniej na liście. Zaprzeczyliśmy więc założeniu, że możliwe jest wypisanie wszystkich liczb, a tym samym istnienie bijekcji. Okazuje się więc, że zbiór liczb rzeczywistych większych niż 0 i mniejszych niż 1 jest większy niż zbiór liczb naturalnych. Nie wszystkie nieskończoności są więc sobie równe i z tego powodu nie możemy po prostu zapisać, że |N| = ∞.

Jaka więc jest moc zbioru liczb naturalnych? Wartość tę nazywamy alef zero i zapisujemy |N| = ℵ_0

Liczb rzeczywistych jest zaś continuum, oznaczane gotycko pisanym c.

Często mówi się o przeliczalnej i nieprzeliczalnej nieskończoności, przez co ma się na myśli właśnie równoliczność ze zbiorem liczb naturalnym lub jej brak.

Można udowodnić, że moc zbioru wszystkich podzbiorów danego zbioru jest mniejsza niż moc tego zbioru: |X| < |2^X| (Twierdzenie Cantora). Musi zatem istnieć wiele innych "nieskończoności" poza alef zero i continuum. Alef zero nie bez powodu ma w swojej nazwie zero. Istnieje cała hierarchia alefów, które są kolejnymi "nieskończonościami", to znaczy, że Alef jeden to najmniejsza liczba kardynalna większa niż Alef zero. Można zatem spekulować, że Alfem jeden jest znane nam już continuum. Hipoteza te jest znana jaka hipoteza continuum i okazuje się, że nie da się jej ani dowieść, ani zaprzeczyć - jest ona niezależna od aksjomatów ZFC, czyli zbioru praw, na których oparta jest matematyka.

Inne ciekawe wyniki teorii mocy to twierdzenie Cantora-Bernsteina, równoliczność przedziału (0, 1) ze zbiorem liczb rzeczywistych, przeliczalność (równoliczność ze zbiorem liczb naturalnych) liczb wymiernych i tak dalej.

(Poprzedni wpis o relacjach i konstrukcji liczb wymiernych)

Następne może będą o grupach, pierścieniach i ciałach

#matematyka #ciekawostki #popularnonaukowe #gruparatowaniapoziomu

[deryt]

@important_sample:

Alef jeden to najmniejsza liczba kardynalna większa niż Alef zero.

Dodałbym akapit czym są alef n przy założeniu Hipotezy kontinuum.
W sumie to króciutko:
Alef 0 = ilość liczb naturalnych
Alef n+1 = ilość podzbiorów zbioru o mocy alef n.
Oczywiście stąd wynika contiunuum = ilość podzbiorów liczb naturalnych.
A że podzbiorów liczb naturalnych jest tyle samo co liczb rzeczywistych pozostawiam jako ćwiczenie dla słuchaczy ( ͡° ͜ʖ

[AnhelliWeMgle]

A że podzbiorów liczb naturalnych jest tyle samo co liczb rzeczywistych pozostawiam jako ćwiczenie dla słuchaczy ( ͡° ͜ʖ ͡°)

@deryt: XDDDDDDDDDDDDDDDD

@important_sample: fajny wpis, widać napracowanko