[important_sample]

#matematyka #ciekawostki #popularnonaukowe i pozwolę sobie na #gruparatowaniapoziomu

Czym są wektory?

Chyba każdy o nich słyszał. Popularne odpowiedzi na to pytanie to coś typu: "wektory to listy liczb, które można dodawać i mnożyć!" albo "wektory to takie strzałki, które można dodawać i mnożyć!". Obie odpowiedzi nie są do końca prawdziwe, chociaż zbliżają się do prawdziwej natury wektorów, kiedy odnoszą się do ich własności, czyli faktu, że można je dodawać i mnożyć.

Prawdziwa i jedyna słuszna definicja wektora jest taka: wektory to elementy przestrzeni wektorowej. ( ͡° ͜ʖ ͡°)

No dobra, to co to jest ta cała przestrzeń wektorowa? Jak to z większością abstrakcyjnych bytów w matematyce bywa, jest to nic innego jak zbiór elementów, wyposażony w pewne działania, mające jakieśtam własności. W tym przypadku wymagamy, aby elementy naszego zbioru mogły być ze sobą dodawane oraz mnożone przez skalary, czyli elementy jakiegoś ciała F. Mówimy wtedy o przestrzeni wektorowej nad ciałem F. Jeśli ktoś nie wie czym jest ciało to można założyć, że chodzi albo o liczb zbiór rzeczywistych, albo o zbiór liczb zespolonych. Formalnie więc, przestrzeń wektorowa to (V, F, +, ·), czyli zbiór V, ciało skalarów F oraz działanie dodawania wektorów oraz ich mnożenia przez skalar. Ale to nie wszystko, wspominałem, że zwykle wymaga się jakichś własności działań i w tym przypadku nie jest inaczej. Każda przestrzeń wektorowa musi spełniać następujące wymagania:
- łączność dodawania wektorów: (x + y) + z = x + (y + z)
- przemienność dodawania: x + y = y + x
- istnienie wektora zerowego: x + 0 = x
- kompatybilność z mnożeniem skalarów: a(bx) = (ab) x
- element jednostkowy ciała musi być elementem jednostkowym dla wektorów: 1 x = x
- rozdzielność możenia skalarnego względem dodawania wektorów: a(x + y) = a x + a y
- rozdzielność mnożenia skalarnego względem dodawania skalarów: (a + b) x = a x + b x

Jak widać, definicja jest dosyć ogólna i abstrakcyjna - trzeba do tego przywyknąć. Wynika z niej, że dosyć nieoczekiwane rzeczy, mogą tworzyć przestrzeń wektorową, takie jak zbiór macierzy o dowolnym rozmiarze czy wielomiany. Można się bardzo łatwo przekonać, że oba z podanych przykładów spełniają wszystkie wymagania definicji.

Zrozumienie wektorów w abstrakcyjnym sensie może być przydatne dla osób zainteresowanych mechaniką kwantową/komputerami kwantowymi, gdyż tam przestrzeń stanów kwantowej cząstki jest przestrzenią Hilberta, czyli przestrzenią wektorową mającą dodatkowe własności (norma i zupełność). Przykładem przestrzeni Hilberta jest przestrzeń funkcji, których kwadrat całkuje się do skończonej liczby (przestrzeń L^2).
Podobnie z ogólną teorią względności, którą opisuje się za pomocą tensorów, czyli elementów przestrzeni będącej iloczynem tensorowym przestrzeni wektorowych i/lub przestrzeni dualnych do nich.

[tyrytyty]

@important_sample: bardzo fajnie, teraz wytłumacz dlaczego w skończeniewymiarowym przypadku, przestrzeń sprzężona do przestrzeni sprzężonej do danej przestrzeni jest tą oryginalną przestrzenią.

[kartofel]

@important_sample fajnie ale opisz kwaterniony.

[important_sample]

@tyrytyty @kartofel może frytki do tego? mówi się proszę (╯°□°）╯︵ ┻━┻

V = V* *:

Przestrzeń dualna do przestrzeni wektorowej (V, F, +, ·) to przestrzeń funkcji liniowych z V do F, oznaczana V*. Prostymi słowami to zbiór wszystkich funkcji liniowych, które biorą wektor i zwracają liczbę, a jak ktoś lubi mądre zapisy to V* = Hom(V, F). Dla przestrzeni o skończonym wymiarze

[important_sample]

@kartofel:

kwaterniony to pierścień nieprzemienny z jedynką i odwrotnościami (pewnie da się zwięźlej opisać, niektórzy mówią chyba nieprzemienne ciało, ale nieważne). Czyli zbiór wyposażony w dwa działania: dodawanie i mnożenie, które spełniają wymagania podobne do na przykład liczb całkowitych.

Kwaterniony składają się z elementów, które w ogólności zapisać można tak:
q = a + b i + c j + d k, gdzie a, b, c i d to liczby

[1001001]

@important_sample

Czym są wektory?

Zupełnie szczerze z tego wpisu nie dowiedziałem się czym są te wektory. W takim sensie, że po tej dość trudnej pod względem matematycznym lekturze gdybym czegoś wcześniej na ten temat nie wiedział to nijak nie byłbym w stanie powiedzieć do czego takie wektory można by zastosować - mam tu na myśli codzienne życie i potencjalne przykłady gdzie jakiś wektor może się pojawić (np. ruch).

[important_sample]

@1001001: Rozumiem. No celem wpisu była popularyzacja bardziej abstrakcyjnego podejścia do wektorów, bo zakładam, że o wektorach jako strzałkach, kierunkach, itp. każdy słyszał gdzieś tam w szkole (choćby na fizyce) i zna interpretację geometryczną. Właściwie to chciałem zburzyć ten wizerunek wektorów, bo jest niepełny :P Ciężko jest mówić o codziennych spotkaniach z abstrakcyjnymi wektorami, dlatego napisałem tylko o tym, gdzie stosuje się te "ogólniejsze" wektorki :/

[1001001]

@important_sample: W takim razie to ja źle odebrałem Twój wpis. Z góry założyłem, że celem przybliżenia tego tematu było przedstawienie wektorów w wersji "From Zero To Hero".
W każdym razie w sumie fajnie, że pojawiają się wpisy z bardzo zaawansowanych dziedzin. Aczkolwiek warto abyś przy tych matematycznych wpisach dodawał na początku jakąś informację, że to treść dla raczej zaawansowanego odbiorcy ( ͡° ͜ʖ ͡°)