[fledgeling]

Jak takie coś policzyć:
Masz kostkę o 100 ścianach (numerowanych od 1 do 100), gdzie każda ścianka ma taką samą szansę wypaść.
Dostajesz możliwość rzucić kostką drugi raz -> i wybrać większą wartość z dwóch rzutów.

O ile procent średnio poprawia się twój wynik?

#matematyka #statystyka #zagadka

[Polanin]

@fledgeling: o 50%.

[padobar]

@Polanin: 50% to są w ogóle szanse, że twój wynik się poprawi.

[Polanin]

@padobar: nie, wynik poprawia sie zawsze, bo wybierasz wiekszą wartość po rzucie.

[jjk-]

@Polanin: Co to w takim razie w ogóle znaczy "poprawi"?

Rzucasz raz, masz 50% szans że drugi rzut będzie miał lepszy wynik niż pierwszy. Pytanie jest, o ile będzie lepszy.

[padobar]

@Polanin: jeżeli za pierwszym razem wyrzucisz 90, a za drugim 10 - nie poprawia się.
Punktem odniesienia jest 1 rzut, a nie sytuacja początkowa

[fledgeling]

Co to w takim razie w ogóle znaczy "poprawi"?

@jjk- o ile wzrośnie oczekiwana wartość

Przy jednym rzucie EV to jakieś 50,5

[jjk-]

@fledgeling: Z tego rozumowania wychodzi mi, że oczekiwana większa z wartości z obu rzutów wynosi 67.165 (dalej już chyba dasz radę). Potwierdza to taka symulacja w Pythonie:

from random import randrange

N = 1000000
sum = 0

for _ in range(N):
x, y = randrange(1,101), randrange(1,101)
z = max(x, y)
sum = sum + z

print(sum / N)

[deryt]

@jjk- o ile wzrośnie oczekiwana wartość

@jjk-:
@fledgeling:
Wartość oczekiwana wzrośnie o ok. 34% to się zgodzę.
Jednak testy pokazują że średnio wynik powiększa się... o ok. 180%.
http://bogus.tk/test.php
Czyli to o ile wzrośnie wartość oczekiwana =/= o ile średnio wzrośnie wynik.

[Polanin]

jeżeli za pierwszym razem wyrzucisz 90, a za drugim 10 - nie poprawia się.

Punktem odniesienia jest 1 rzut, a nie sytuacja początkowa

@padobar: nie. Jeśli rzucasz 10 i 90 to wynik poprawił się o 800%. Niezależnie od kolejności.
To 50% co podałem to był zły wynik, ale z innego powodu.

[Polanin]

Co to w takim razie w ogóle znaczy "poprawi"?

@jjk-: znaczy tyle, że obliczasz o ile jeden rzut jest większy od drugiego.

[Blomex]

@fledgeling: odpowiadając na pytanie jak takie coś policzyć (po twoich komentarzach wnioskuje, że chodzi o wartość oczekiwana maksimum z 2 rzutów)
Bierzemy wszystkie uporządkowane pary (i,j) gdzie i, j to liczby od 1 do 100. Każdej parze przypisujemy wagę w((i,j)) = max(i,j).
Następnie suma wag przez liczbę par (tutaj 10000) da nam wartość oczekiwaną.

[deryt]

Bierzemy wszystkie uporządkowane pary (i,j) gdzie i, j to liczby od 1 do 100. Każdej parze przypisujemy wagę w((i,j)) = max(i,j).

@Blomex:
W sumie myślałem że to za skomplikowane, bo musisz rozpatrzyć 100x100 przypadków, ale jak napisałeś, to widzę że może się da:

sum od i=1 do i=100

sum od j=1 do j=100

z

f(i,j)

Podzielone przez 100x100

gdzie:
f(i,j)=1 gdy j>0
f(i,j)=j/i
Dalej to można obliczać, ale kluczowy będzie czynnik:

[deryt]

@fledgeling: @jjk-: @fledgeling:
Wyszło mi 186%.
Ale pomagałem sobie wolframem.
Mam wrażenie że bez wolframa się nie da.

[Blomex]

@deryt: na kartce faktycznie może być trudno, ja bym po prostu napisał jakiś program 2 linijkowy, który to liczy.
Jeśli chcesz liczyć na kartce, to możesz sobie spróbować zapisać jak to wygląda dla np. liczb od 1 do 4 i zauważyć, jak te liczby się układają.
jeżeli wiersz to i a kolumny to j, to powstanie nam coś takiego:
1 2 3 4
2 2 3 4
3 3 3 4

[deryt]

wzorem zwartym - nie wiem

@Blomex:
No ja przecież napisałem to "wzorem zwartym". Tylko że nie umiem z tego wyliczyć konkretnej liczb w zapisie dziesiętnym. Problem jest równoważny problemowi policzenia na kartce:

suma od i=1 do i=100 z 1/i

A ten wydaje mi się niemożliwy bez żmudnych obliczeń (dodaniu kilku tysięcy cyfr).

@fledgeling:
To na pewno zadanie z #matematyka, a nie z #programowanie?

[fledgeling]

@deryt: to chyba problem z rozmowy do Jane Street, nie pamiętam już