[KochamKoniki]

Chcę sobie coś zamodelować ale nie mam pojęcia jak to policzyć - kozaki od rachunku prawdopodobieństwa proszę pomóżcie.

Mamy worek z K kulami czerwonymi i L kulami czarnymi. Algorytm wyciągania kul z worka wygląda następująco:
1. Wyciągamy kulę z worka
2a. Jeśli jest czerwona, to z prawdopodobieństwem p wracamy do punktu 1 (już wyciągniętej kuli nie zwracamy!). Naturalnie z prawdopodobieństwem (1-p) kończymy wyciągnie.
2b. Jeśli jest czarna, to kończymy wyciągnie.

Pytanie: jaka jest oczekiwana liczba wyciągniętych kul?

#matematyka

[Jakubussimus]

@KochamKoniki: zobacz tutaj

[espu]

@KochamKoniki: 43

[Krolowa_Nauk]

@KochamKoniki:
Na razie rozpisałam pewne prawdopodobieństwa, dalej zabawa z sumą (może jakiś wzór Newtona się uda wykorzystać?). Może ktoś wpadnie na sprytniejszy pomysł:)

[Krolowa_Nauk]

@KochamKoniki: Trzeba oczywiście jeszcze pamiętać, że dla i=K+1 musimy mieć już x i=B, więc to prawdopodobieństwo z X i=R jest zero dla tego konkretnego i.

[Krolowa_Nauk]

@espu: Niemożliwe - tutaj wartość oczekiwana zależy od parametrów K, L oraz p!

[Krolowa_Nauk]

@KochamKoniki: Jeszcze jedna wskazówka (albo i naprowadzenie na trudne rachunkowo rzeczy) - przemnożysz to prawdopodobieństwo przez i!/i! to będziesz miał symbole Newtona (K nad i)/(K+L nad i) zamiast tych wszystkich silni. Nie znam własności sumy takiego ilorazu, ale może ktoś gdzieś coś o tym pisze... Innego sposobu na razie nie wymyśliłam, ale jeśli kiedyś będę miała więcej czasu, to spróbuję nad tym jeszcze posiedzieć(｡◕‿‿◕｡)

[Sedd]

@KochamKoniki: Nie wiem, ale jestem prawie pewien, że jak to przeczytasz to będziesz wiedział ;) : https://en.wikipedia.org/wiki/Absorbing_Markov_chain

[KochamKoniki]

@Krolowa_Nauk: kurde, dzięki wielkie za takie zaangażowanie!
Pomysł widzę miałem dobry, tylko to przejście od potężnego iloczynu do tych silni to jakiś kosmos. 15 minut mi teraz zajęło zrozumienie skąd się to wzięło, a i w sumie dalej nie jestem pewien xD mnożyłaś to przez fikuśnie zapisane 1, tak żeby "dopełnić" silnie z licznika i mianownika, dobrze myślę? To jakiś powszechnie znany trik, czy po prostu jesteś geniuszem???

[KochamKoniki]

@Krolowa_Nauk: taki rezultat mnie już urządza, bo to sobie numerycznie względnie łatwo policzę. Ale w sumie ciekawe czy można to jeszcze jakoś ładnie uprościć.
Generalnie to zadawałem pytanie z myślą, że to pewnie jakiś typowy przypadek i odpowiedź będzie w stylu (K+L) * p^2 xD

[Krolowa_Nauk]

@KochamKoniki: po prostu w liczniku i mianowniku są niepełne silnie. To znana rzecz: np. 6 * 7 * 8 * ... * 20 = (1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * ... * 20 ) / (1 * 2 * 3 * 4 * 5) = 20! / 5! Dokładnie to samo robię wyżej tylko dla liczb złożonych z K,L oraz i.

[KochamKoniki]

@KochamKoniki: EDIT jednak sobie numerycznie nie policzę, bo jakieś duże te silnie wychodzą xD

[Krolowa_Nauk]

@KochamKoniki: Może chociaż uda się policzyć iloczyn tych wyższych elementów bez korzystania z silni? Tzn:

S=1
T=1
for j from 1 to i:
S = S * (K-i+j)
T = T * (K+L-i+j)
P(X=i) = p^{i-1} * S / T * (L / (K-i) + (1-p))

Bo rozumiem, że piszesz to w jakimś programie?

[KochamKoniki]

@Krolowa_Nauk: W tej chwili symuluję za każdym razem ten scenariusz, ale jest to dość drogie obliczeniowo, dlatego chciałem zamiast symulacji po prostu używać oczekiwanej wartości. Prawdopodobnie nawet takie żmudne mnożenie będzie szybsze, ale to będę musiał sprawdzić.

PS. jakaś dobra duszyczka wrzuciła temat na stacka, polecam rzucić okiem jak ktoś jest zainteresowany: https://math.stackexchange.com/questions/4290435/urn-problem-with-random-halting

[KochamKoniki]

ta dobra duszyczka to @tyrytyty. Chyba nie wrzucił linka sam, bo był u mnie na czarnej xD

[k.....e]

@KochamKoniki: zapisujesz rownanie rekurencyjne i obliczasz dynamicznie wartosci