[tkowal]

Ma ktoś jakiś pomysł na to? Poziom niby gimbaza (konkursowe) ale ciężkie się wydaje
#matematyka #zadanie

[Jurigag]

@tkowal: musisz doprowadzić do sytuacji aż na prawo będziesz miał <= 0 na prawo a na lewo wszystkie składniki które będą dodatnie i tyle pewnie będzie coś w stylu np a+b-1 chociaż tą -1 pewnie da się jakoś pozbyć

[rbk17]

@tkowal: no i już padło, bo dla

a = 2 i b = 1

2/5 > 1/2

Prościej jest obalić twierdzenie niż je udowodnić.

[Polewik]

@tkowal: Wszystko na lewo, potem do wspólnego mianownika, poskracaj tyle ile można, pomnóż przez -1 i nie zapomnij o zmianie znaku, wtedy lewa strona (ułamek) będzie większa bądź równa prawej (0). Koniec "dowodu", nierówność jest spełniona dla dowolnych liczb dodatnich a b

@rbk17: Jeśli chodzi o wszelakie zadania konkursowe i maturalne to obalanie czegokolwiek na przykładzie nie jest dowodem i jest niezgodne z poleceniem (⌐ ͡■ ͜ʖ

[rbk17]

@Polewik: aha, no ok trochę zapomniałem od szkoły.

[tkowal]

@rbk17: znak jest w drugą stronę więc nie obaliłeś

@Polewik: albo coś źle robię albo nie ma co skracać

[mcnight95]

@Polewik:

Jeśli chodzi o wszelakie zadania konkursowe i maturalne to obalanie czegokolwiek na przykładzie nie jest dowodem >i jest niezgodne z poleceniem (⌐ ͡■ ͜ʖ ͡■) w ogóle w matematyce obalenie czegoś na konkretnym przykładzie nie jest >dowodem

whaat? Od kiedy kontrprzykład nie jest forma dowodu, ze coś nie zachodzi?

[Irrichi]

@tkowal:
Udało mi się znaleźć rozwiązanie dość skomplikowane jak na gimnazjum no ale cóż.
Jak przemnożysz wszystko i przeniesiesz na jedną stronę to otrzymujesz nierówność
a^6 - a^4b - a^2b^5 - a^5b^2 - b^4a + a^2b^2 + a^4b^4 + b^6>=0, którą można przedstawić w postaci
(a^3+b^3-ab-a^2b^2)^2 + a^5b^2 + a^4b + a^2b^5 + ab^4 - 4a^3b^3>=0, pierwszy składnik sumy jest dodatni, bo jest kwadratem, wystarczy więc pokazać, że a^5b^2+a^4b+a^2b^5+ab^4>=4a^3b^3, a to

[Polewik]

@Irrichi: Gafy się zdarzają, dlatego usunąłem ( ͡° ʖ̯ ͡°)

[a.....r]

@tkowal: z nierówności arytmetyczna-geometryczna mamy a^4+b^2>=2a^2b, a^2+b^4>=2ab^2, stąd 1/2>=a^2b/(a^4+b^2), 1/2>=ab^2/(a^2+b^4), dodajesz stronami, dzielisz przez ab i jest.

[Polewik]

@mcnight95: Kontrprzykład jest formą obalenia tezy na danym przypadku, tzn pokazaniem, że dla jednego konkretnego przypadku teza nie zachodzi, ale nijak ma się to do przeprowadzenia dowodu. Pewnie dałoby się rozwiązać to zadanie dowodem nie wprost (co pewnie masz na myśli), tzn założyć, że nierówność zachodzi dla liczb ujemnych co doprowadzi do sprzeczności i implikuje w to, że nierówność musi być prawdziwa dla liczb dodatnich, wtedy taki "kontrprzykład" (chociaż to kontrprzykładem

[mcnight95]

@Polewik: Wiem czym jest kontrprzykład. Natomiast mi chodzi o to, ze napisałeś, ze na konkursie albo maturze nie mozna podac kontrprzykladu aby pokazac, ze cos nie zachodzi, co jest nieprawda.

Oczywiście w tym zadaniu mamy powiedziane "Udowodnij, ze dla...." wiec zakładając, ze nie ma błędu w poleceniu to szukanie kontrprzykladu jest bez sensu, ale juz gdyby polecenie brzmialo "Sprawdz czy..." to znalezienie takiej pary dodatnich liczb a i b dla ktorych

[mcnight95]

@Polewik:

Pewnie dałoby się rozwiązać to zadanie dowodem nie wprost (co pewnie masz na myśli), tzn założyć, że >nierówność zachodzi dla liczb ujemnych co doprowadzi do sprzeczności i implikuje w to, że nierówność musi być >prawdziwa dla liczb dodatnich

A to nieprawda, dowód nie wprost tutaj brzmiałby tak:

Załóżmy, ze istnieją a>0 i b>0 takie, ze nierówność nie zachodzi. I wychodząc z tego musielibyśmy dojść do sprzeczności.

[JakTamCoTam]

@tkowal imo powyżej poziomu matury rozszerzonej

[janznetu]

@Irrichi: a skad to cudo sie wzielo? (a^3+b^3-ab-a^2b^2)^2

[kolnay1]

obalanie czegokolwiek na przykładzie nie jest dowodem i jest niezgodne z poleceniem (⌐ ͡■ ͜ʖ ͡■) w ogóle w matematyce obalenie czegoś na konkretnym przykładzie nie jest dowodem

@Polewik: Co ty gadasz, obalenie oczywiscie przechodzi w taki sposob. Jak sie neguje duzy kwantyfikator twoim zdaniem? Inna kwestia ze tutaj ten przyklad jest zle policzony, bo po lewej wcale nie bedzie 2/5.

[Irrichi]

@janznetu: Chciałem jakoś ładnie zwinąć do kwadratu, a pojawiało się a^6,b^6,a^2b^2,a^4b^4, więc spróbowałem w ten sposób i okazało się, że zadanie wychodzi.

[janznetu]

@Irrichi: a to tak można sobie zawijać?

[Irrichi]

@janznetu: Jak to wymnożysz i dodasz to co jest tam dalej to wyjdzie ci to co jest linijkę wyżej, więc można.