[M.....3]

Może mi ktoś pomóc zrozumieć indukcję matematyczną? Sprawdzamy dane równanie dla najmniejszego elementu dziedziny, widzimy że warunek jest prawdziwy. Ok, do tego momentu wszystko jasne. Teraz zakładamy, że ten warunek jest prawdziwy dla każdego innego elementu n należącego do dziedziny. Ok, to tylko przypuszczenie, wcale tak nie musi być. Teraz analizujemy warunek dla n+1, poprzez takie przekształcenie równania, by zapisać je w takiej postaci która zawiera w sobie równanie z n-em z punktu drugiego i coś jeszcze. A więc udało nam się zapisać f(n+1) jako f(n) + . I tutaj byłby koniec. Tylko czego to dowiodło? Że f(n+1)=f(n)+. I to jest dowód? Czy fakt że f(n+1)=f(n)+ oznacza prawdziwość zdania f(n)? Wieloma równaniami można tak manipulować by doprowadzić je do różnorakiej postaci. Skoro nigdzie nie udowodniliśmy że f(n) jest prawdą, a jedynie założyliśmy, to co to za dowód? Z tego wynika że tak samo przypuszczamy jedynie że f(n+1) też jest zdaniem prawdziwym. No a przecież aby przypuszczać że coś jest prawdziwe to nie potrzeba żadnego dowodu.
W ogóle do mnie nie trafia ten sposób dowodzenia.

#matematyka #pytaniedoeksperta

[a.....y]

@Matt23:
Udowodnimy, że wszystkie konie są jednej maści. Posłużymy się indukcją matematyczną względem liczby koni. Sprawdzamy pierwszy krok indukcyjny − zbiór złożony z jednego konia jest zbiorem koni jednej maści. Zakładamy teraz, że (dla ustalonego n) wszystkie konie w każdym zbiorze n-elementowym koni są jednej maści. Pokażemy, że w takim razie teza zachodzi także dla wszystkich zbiorów (n+1)-elementowych koni.

Dodajmy do dowolnego n-elementowego zbioru nowego konia. Mamy zbiór (n+1)-elementowy. Teraz odprowadźmy

[bleeh]

@Matt23: W indukcji trzeba udowodnić dwie rzeczy:

1. Istnieje liczba, dla której warunek jest spełniony, powiedzmy 1.
2. Jeżeli warunek jest spełniony dla jakiegoś n, to jest spełniony dla n + 1.

Stąd, jeżeli warunek jest spełniony dla 1, to, na mocy punktu 2., jest też spełniony dla 2. Skoro wiemy już, że warunek jest spełniony dla 2, to, na mocy punktu 2. jest też spełniony dla 3, itd.

[M.....3]

@adgebworthy: W tej historyjce mamy pewien błąd, który nie trudno zauważyć. Ale skąd mogę mieć pewność że dane założenie, np a^b - c jest podzielne przez d dla każdego b, jest zawsze prawdziwe, tylko dla tego, że postać od "b+1" zapisałem jako postać od "b plus coś jeszcze"

[M.....3]

@bleeh: Udowadniamy prawdziwość dla np 1. Owszem, jesteśmy w stanie to zrobić. Ale już dla f(n) jedynie zakładamy że jest to prawda. A równaniem f(n+1 ) manipulujemy tak by pokazać że jest ono równe f(n) + coś. Sęk w tym, że nigdzie nie pokazaliśmy że f(n) jest prawdziwe. Zakładamy tylko że tak jest.

[a.....y]

@Matt23: Generalnie indukcja matematyczna opiera się na tym, że każda liczba naturalna n ma swój następnik (jeśli chciałbyś zrozumieć to dogłębnie, najlepiej, żebyś zapoznał się z teoriomnogościową konstrukcją liczb naturalnych i zasadą indukcji matematycznej zapisanej też teoriomnogościowo, ale to nie jest Ci potrzebne przy wykorzystywaniu indukcji, więc to raczej ciekawostka).

Jeśli więc sprawdziłeś, że coś zachodzi dla n = 1, a następnie udało Ci się dowieść, że dla dowolnego n zachodzi

[M.....3]

@arbuzowekaktusy: @bleeh: @adgebworthy: Poniżej rzekomy dowód indukcyjny na to że 10^n-1 jest podzielne przez 3 dla dodatnich n. Czyli co, stwierdziłem że jest to prawda dla n = 1. Na tej podstawie sądzę że jest to prawda dla dowolnego n. Następnie rozpisałem równanie dla n+1 w taki sposób by zawierało w sobie rzekomą prawdziwość z poprzedniego kroku i 9*10^n co oczywiście jest podzielne przez 3. W którym miejscu na

[a.....y]

przypuszczenie na bazie którego tak samo przypuszczamy że dla n+1 teza również jest prawdziwa

@Matt23: Nie do końca - Twoim założeniem jest, że coś jest prawdziwe dla n. Musisz udowodnić, że z tego wynika, że jest prawdziwe również dla n+1. Dowód nie jest już przypuszczeniem, a wynikiem formalnego matematycznego rozumowania. O ile został prawidłowo przeprowadzony, musi być rozwiązaniem. To chyba najważniejsze w tym wszystkim.
Teraz - jeśli formalnie udowodniłeś, że coś

[M.....3]

@arbuzowekaktusy: Dobra, chyba powoli zaczynam rozumieć te czary, dziękuję.

[a.....y]

@Matt23: Gdyby coś jeszcze później było choć trochę niejasne, to pytaj. ( ͡° ͜ʖ ͡°)

[S....._]

@Matt23: Możesz to sobie interpretować tak, że ciebie w tym dowodzie w ogóle nie obchodzi to, czy f(n) jest prawdą. Ty wykazujesz, że JEŚLI f(n) jest prawdą, to prawdą jest f(n+1). Więc, jeśli wykażesz też, że prawdą jest f(1), to na mocy implikacji f(n) => f(n+1), wykazałeś również, że jest prawdą dla f(2). Skoro wykazałeś f(2), to na mocy tej samej implikacji, prawdą jest też f(3) i tak dalej w nieskończoność

[M.....3]

@Salieri_: Zgadza się, właśnie udało mi sie to zrozumieć za sprawą koleżanki wyżej. Przedtem jakoś nie dostrzegłem tej relacji i nie potrafiłem zrozumieć sensu indukcji.

[kolnay1]

@Matt23: To teraz postaraj się przeanalizować ten dowód:

Teza - wszystkie konie są tej samej maści.
Gdy mamy jednego konia, to rzeczywiście wszystkie są tej samej maści.
Załóżmy, że n koni jest tej samej maści. Gdy dorzucimy jednego konia, to jak się zignoruje pierwszego, znowu mamy n koni, co z założenia indukcyjnego oznacza, że są tej samej maści. Gdy się zignoruje ostatniego to podobnie. W związku z tym mamy n+1 koni

[M.....3]

@kolnay1: Już ktoś to wklejał w pierwszym komentarzu.