[radek1122012]

#matematyka #studia #algebra

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak rozwiązać takie zadanie?

[spinacz61]

@radek1122012: to będzie dość prymitywne rozwiązanie, ale chyba zadziała.

Zauważmy, że obraz dowolnego wektora leży w przestrzeni linowej wygenerowanej przez v1 i v2, czyli jest postaci (alpha + beta, alpha, alpha + beta, alpha). Więc jeżeli mieli byśmy macierz A tego przekształcenia, to możemy wybrać ją w taki sposób, żeby w pierwszym i trzecim wierszu miała te same wyrazy i tak samo dla drugiego i czwartego, tzn

{
{a,

[tyrytyty]

@tyrytyty: niech ktoś to zweryfikuje bo mi się myli zawsze czy te wektory są poziomo czy pionowo xD

[radek1122012]

@tyrytyty @spinacz61 Dzięki za odpowiedź. Jeszcze nie przerabiałem macierzy odwzorowań linowych a zadanie jest z zestawu dot. samych odwzorowań. Macie jakiś pomysł jak rozwiązać to bez korzystania z macierzy?

[tyrytyty]

@radek1122012: sory że tak późno

nazwijmy to przekstałcenie f

chcemy aby ker(f) = lin(u1, u2) to znaczy aby f(u1) = 0 i f(u2) = 0

poza tym chcemy aby im(f) = lin(v1, v2) to znaczy aby wartościami f były wektory tylko z tego lina v1 i v2

jak to zrobić?

pamiętamy, że przekształcenie możemy zdefiniować zadając wartości na wektorach bazowych (tutaj czterech bo pracujemy w R4)

jak znaleźć 'ładne' wektory bazowe

[radek1122012]

@tyrytyty: Dzięki wielkie!

[tyrytyty]

@radek1122012: sposób co chciałem napisać wyżej i sobie przypomniałem xD

niech M = macierz tego przekształcenia w bazie u1, u2, v1, v2. M wygląda tak:

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

niech baza u1, u2, v1, v2 oznaczona będzie jako V.

niech A = macierz przejścia z bazy V do standardowej. A wygląda tak (po prostu wpisujesz wektory V kolumnami):

1

[tyrytyty]

@radek1122012: sory, jeszcze widzę jak tu skomplikowałem: zamiast żądać by v1 przechodziło na v1 a v2 na v2, można wybrać prostsze wektory bazowe na których zadajemy przekształcenie. Jako bazę R4 możemy wybrać u1, u2, (1,0,0,0), (0,0,0,1) - widać że to jest lnz - i chcieć by f było zadane tak:

f(u1) = 0
f(u2) = 0
f(1,0,0,0) = v1
f(0,0,0,1) = v2

jeszcze bardziej ułatwi to obliczenia w pierwszym sposobie.