[jeronimo_martini]

Hej, muszę udowodnić że jeżeli ciąg jest ograniczony i nie ma maksimum to lim sup x = sup x. Mógłby ktoś pomóc bo siedzę nad tym już trochę?

#matematyka

[KolejnyWykopowyJanusz]

@jeronimo_martini: ciag a(n) jest ograniczony wiec oznaczmy sobie to ograniczenie jako A.
poniewaz ciag nie ma maksimum, to dla kazdego a_n, znajdziemy dalszy element ciagu, ktory jest blizej A
tak wiec dla kazdego n, sup(a(k), k>n) = A = sup( a(n) )
ciag sup(a(k), k>n) jest wiec stale rowny sup( a(n) ), ale lim sup to infimum ciagu sup( a(k), k>n)

[mcnight95]

@KolejnyWykopowyJanusz: Cofam to, jeżeli ciąg nie ma maksimum to musi mieć podciąg rosnący. :D

[jeronimo_martini]

@mcnight95: @KolejnyWykopowyJanusz: Wydaje mi się że trzeba tu wziąć jakieś e > 0 i popatrzeć na przedział (A - e, A]? Wydaje mi się że powinno tam być nieskończenie wiele elementów z których można by ułożyć jakiś podciąg który dąży do A. Nie wiem tylko czy to wykaże to co bym chciał.

[KolejnyWykopowyJanusz]

@jeronimo_martini: jest jak mówisz. Z tego wnioskujesz że sup(a(k), k>n) = A, i wtedy wychodzi

[jeronimo_martini]

@KolejnyWykopowyJanusz: Wydaje mi się że nie masz racji; wiemy tylko, że ciąg jest ograniczony, nie że jest zbieżny. A tutaj zakładasz że będzie dążył do A (a nie musi). Jeżeli nie dąży do A to tych punktów będzie skończenie wiele. Nie wiem tylko jak tu kontynuować.@mcnight95:

[KolejnyWykopowyJanusz]

@jeronimo_martini: ale pewien jego (nieskończony!) podciąg dąży do A

[jeronimo_martini]

@KolejnyWykopowyJanusz: Mógłbys powiedzieć mi jak taki podciąg skonstruować? Wydaje mi się że nie mogę tego powiedzieć z czapy, bo wiem tylko że {x_n} ma jakiś podciąg który dąży do jakiejś wartości, nie wiem czy mogę założyć że będzie to A.

[KolejnyWykopowyJanusz]

@jeronimo_martini: bierzemy wszystkie rosnące podciągi (one są zbieżne, bo należą do ograniczonego ciągu), i ten z największą granicą jest tym którego szukasz