Wygląda na czujnik halla w aparacie zapłonowym
To o czym piszesz to jeden z typowych objaw uszkodzenia tego czujnika. Przeważnie tak jest, że jak ostygnie to odpala bez problemu

Olej wycieka prawdopodobnie z oringa w aparacie zapłonowym (aparat jest napędzany z wałka rozrządu). Możesz go próbować czyścić, ale przeważnie one prędzej padają ze starości. Oczywiście możesz też sprawdzić same przewody/przeczyścić styki we wtyczce itp. ale raczej zacznij się rozglądać za nowym czujnikiem (jak masz minimum zacięcia majsterkowicza to na Aliexpress są do dostania po taniości, kwestia rozebrania aparatu, wynitowania starego i wnitowania nowego).

Jasne, o ile tylko jest osiągalny w sprzedaży (bo wiem z doświadczenia, że do niektórych staruszków ciężko dostać).

Ewentualnie sprawdź jeszcze samą cewkę i moduł sterujący przy niej, bo to wszystko jest razem powiązane i uszkodzenie któregokolwiek będzie dawało podobne objawy.

Nie ma sprawy ( ͡° ͜ʖ ͡°)
Tam dużo cudów nie ma żeby napsuć, jedynie co to zapłon potem trzeba wyregulować (kręcąc aparatem zapłonowym przód/tył). Pewnie gdzieś po forach VAGa jakieś poradniki znajdziesz jak to zrobić samemu, a jak nie to faktycznie to mechanika.