- 527
Podstawy algebry abstrakcyjnej: Grupy
#matematyka #ciekawostki #popularnonaukowe #gruparatowaniapoziomu
(Poprzedni wpis o teorii mocy i różnych nieskończonościach)
Wiecie co matematycy lubią robić najbardziej? Uogólniać znane koncepty. Nie powinno więc dziwić, że znane wszystkim struktury algebraiczne, czyli zbiory wyposażone w działania (np. liczby całkowite z dodawaniem) rozpatrywane były w bardziej ogólny sposób, przyglądając się jakie własności zachodzą dla tych dobrze znanych obiektów. Tak powstał dział zajmujący się różnymi strukturami algebraicznymi, zwany algebrą abstrakcyjną.
Strukturą
#matematyka #ciekawostki #popularnonaukowe #gruparatowaniapoziomu
(Poprzedni wpis o teorii mocy i różnych nieskończonościach)
Wiecie co matematycy lubią robić najbardziej? Uogólniać znane koncepty. Nie powinno więc dziwić, że znane wszystkim struktury algebraiczne, czyli zbiory wyposażone w działania (np. liczby całkowite z dodawaniem) rozpatrywane były w bardziej ogólny sposób, przyglądając się jakie własności zachodzą dla tych dobrze znanych obiektów. Tak powstał dział zajmujący się różnymi strukturami algebraicznymi, zwany algebrą abstrakcyjną.
Strukturą
important_sample via Wykop
- 1
@kartofel: Nie ma problemu, możesz składać propozycje na nazwę tagu ^ ^ A o teorii sterowania nie wiem praktycznie nic, więc najwyżej mógłbym kiedyś coś o systemach dynamicznych i stabilności napisać
important_sample via Wykop
- 2
@killuawykop
@jeanpaul
Odpowiedź może nie być satysfakcjonująca, ale główne zastosowania są pewnie w matematyce, albo fizyce. Wspominałem w poście o grupach Liego, które (razem z algebrami) wykorzystuje się w robotyce do estymacji pozy. SLAM (simultaneous localization and mapping), czyli fundamentalne zadanie wymagane np. do działania autonomicznych pojazdów, robotów sprzątających, urządzeń do AR,
Przydałby się jakiś komentarz w treści jakie jest praktycnzne zastoowanie omawianych tematów.
@jeanpaul
... teorie bez wyjasnienia czemu to mialoby sluzyc?
Odpowiedź może nie być satysfakcjonująca, ale główne zastosowania są pewnie w matematyce, albo fizyce. Wspominałem w poście o grupach Liego, które (razem z algebrami) wykorzystuje się w robotyce do estymacji pozy. SLAM (simultaneous localization and mapping), czyli fundamentalne zadanie wymagane np. do działania autonomicznych pojazdów, robotów sprzątających, urządzeń do AR,
important_sample via Wykop
- 4
@specjalista_gamoniu:
żeby pisać o tym na mirko i dostawać plusiki (⌐ ͡■ ͜ʖ ͡■)
No trudne pytanie, no nie? Po co robić cokolwiek w życiu? Sam się zastanów po co robisz to co lubisz robić, po co uczysz się tego co Cię interesuje?
Lubię matematykę, czerpię satysfakcję z tego, że zrozumiem coś abstrakcyjnego, lubię widzieć związki i nieoczywiste zastosowania jakiegoś działu
po cholere sie tego uczysz?
żeby pisać o tym na mirko i dostawać plusiki (⌐ ͡■ ͜ʖ ͡■)
No trudne pytanie, no nie? Po co robić cokolwiek w życiu? Sam się zastanów po co robisz to co lubisz robić, po co uczysz się tego co Cię interesuje?
Lubię matematykę, czerpię satysfakcję z tego, że zrozumiem coś abstrakcyjnego, lubię widzieć związki i nieoczywiste zastosowania jakiegoś działu
important_sample via Wykop
- 1
@Mopek666: Dzięki (。◕‿‿◕。) Dopiero niedawno zainteresowałem się formami modularnymi, więc nie wiem jakoś bardzo wiele o nich, ale może mógłbym kiedyś napisać to co wiem
important_sample via Wykop
- 0
@Chrzonszcz: nic mi o nich nie wiadomo ¯\(ツ)/¯
important_sample via Wykop
- 0
@keeper772: Tak, każda grupa jest monoidem, nawet napisałem to w poście ^ ^
- działanie ∘ jest łączne
- istnieje element neutralny e (wiemy więc już, że grupa jest monoidem)
Działanie w monoidzie nie musi być przemienne. Jak chcesz przykład to monoidem nieprzemiennym (który nie jest grupą) jest zbiór ciągów znaków (słów) z działaniem konkatenacji (łączenia słów),
Otóż grupą nazywamy zbiór wyposażony w jedno działanie binarne (G, ∘) o następujących własnościach:
- działanie ∘ jest łączne
- istnieje element neutralny e (wiemy więc już, że grupa jest monoidem)
Działanie w monoidzie nie musi być przemienne. Jak chcesz przykład to monoidem nieprzemiennym (który nie jest grupą) jest zbiór ciągów znaków (słów) z działaniem konkatenacji (łączenia słów),
important_sample via Wykop
- 0
@Catmmando: w uproszczeniu grupy to pewne uogólnienie liczb całkowitych, rzeczywistych i wielu innych struktur, w których można wykonywać jakieś działanie i są odwrotności
important_sample via Wykop
- 1
@Arv_: dzięki, nigdy nie słyszałem po polsku o grupach Liego, więc nie wiedziałem jak się odmienia :P
important_sample via Wykop
- 0
@FuckYouTony: też mnie zdenerwowało, na ciemnym motywie jeszcze mniej widać, a jak się nie powiększy obrazka to nie widać już nic
swoją drogą @wykop @m__b fajnie byłoby mieć obsługę LaTeXa ( ͡° ͜ʖ ͡°) dajcie MathJax pls (ʘ‿ʘ)
swoją drogą @wykop @m__b fajnie byłoby mieć obsługę LaTeXa ( ͡° ͜ʖ ͡°) dajcie MathJax pls (ʘ‿ʘ)
important_sample via Wykop
- 1
@tyrytyty: wtedy kiedy orbita i stabilizator, czyli może nigdy ¯\(ツ)/¯ pisałem specjalnie dla Ciebie o double dual pod pierwszym wpisem i nawet plusika mi nie dałeś (╯°□°)╯︵ ┻━┻
important_sample via Wykop
- 0
@Baziestook: ta, można znaleźć wszystkie trójki pitagorejskie rozkładając równanie a^2 + b^2 = c^2 w Z[i] czyli pierścieniu liczb całkowitych z dołączonym i, dla którego i^2 = -1 (Liczby całkowite Gaussa)
important_sample via Wykop
- 1
@keeper772: Można w aksjomatach grupy napisać, że istnieje tylko lewostronny element neutralny albo tylko lewostronna odwrotność i udowodnić, że z tego (i pozostałych własności) wynika, że prawostronny element neutralny to to samo:
Przyjmujemy, że e ∘ x = x.
x ∘ e = x ∘ (x^-1 ∘ x) = (x ∘ x^-1) ∘ x = e ∘ x = x
Dowód, że z x^-1 ∘ x wynika x ∘ x^-1 jest
Przyjmujemy, że e ∘ x = x.
x ∘ e = x ∘ (x^-1 ∘ x) = (x ∘ x^-1) ∘ x = e ∘ x = x
Dowód, że z x^-1 ∘ x wynika x ∘ x^-1 jest
important_sample via Wykop
- 0
Szybkie pytanko - z algebry na studiach pamietam, że zbiór z jednym działaniem to grupa. Natomiast z dwoma działaniami to pierścień.
Nie pamietam pólgrup i monoidów. W uczonej nas wersji grupa z definicji musiała mieć element neutralny, a działanie musiało być łączne.
Miałem jakąś okrojoną wersję czy algebra abstrakcyjna tak ewoluowała w 15 lat?
@tegie: wszystko się zgadza. monoid i półgrupa to po prostu jeszcze ogólniejsze struktury, od których wymaga się
important_sample via Wykop
- 2
ps gratuluję ciekawego hobby
@lupoo: dzięki, choć nie wiem czy takie ciekawe; trudno o tym rozmawiać przy piwie (pic rel)
czy byłbyś w stanie ułożyć plan nauki matmy (idealnie by iść w stronę gdzie matma może się przydać przy pracy/tworzeniu AI lub pokrewnych) dla całkowitego laika, zaczynając od prostych działań wykonywanych w podstawówce typu wykresu funkcji. Być może wskazać literaturę która nie pokazuje jak to wyliczyć ale zrozumieć i pomóc zwizualizować
important_sample via Wykop
- 0
@Maciess: dzięki za feedback, zawsze staram się coś tam napisać o zastosowaniach, ale czasem ciężko znaleźć je poza matematyką, a domyślam się, że chodzi o takie bardziej "codzienne". nie będę ukrywał, że większości ludzi do niczego się to nie przyda ("dziś minął kolejny dzień bez wykorzystania wzoru skróconego mnożenia!" i tak dalej), co zrozumiałe
No mają dużo
Może coś z równań różniczkowych? Na starcie już masz pełno zastosowań do wyboru :)
No mają dużo
important_sample via Wykop
- 5
@kartofel: Wleciał sequel: https://wykop.pl/wpis/76010693/podstawy-algebry-abstrakcyjnej-grupy-cz-2-matematy
tag #mathsamples
@rinq0k @alexander-dantes @homerox2000 @Sztywnesutkiszatana @Krzewka @Nill0n @Glopik @robv01 @bartosz-wysocki-stalos @Sosnus @ZyfiDynock @sambarumba @PtactwaWiele @magus-carlsberg @kam3o @qman @Rosak @2-Fenyloetyloamina @Tenbezkonta @DoubleM @Edonator @oreze @artrac @markorad @Cybek-Marian @eskejp_ @Misiekbaza @Wegrzynski @Glos_z_sali @konsument @Pioneer95 @niezdiagnozowany @bo_dostaniesz_kociej_mordy @ziolo86
tag #mathsamples
@rinq0k @alexander-dantes @homerox2000 @Sztywnesutkiszatana @Krzewka @Nill0n @Glopik @robv01 @bartosz-wysocki-stalos @Sosnus @ZyfiDynock @sambarumba @PtactwaWiele @magus-carlsberg @kam3o @qman @Rosak @2-Fenyloetyloamina @Tenbezkonta @DoubleM @Edonator @oreze @artrac @markorad @Cybek-Marian @eskejp_ @Misiekbaza @Wegrzynski @Glos_z_sali @konsument @Pioneer95 @niezdiagnozowany @bo_dostaniesz_kociej_mordy @ziolo86
#matematyka #mathsamples #ciekawostki #popularnonaukowe #gruparatowaniapoziomu
(Kontynuacja BESTSELLEROWEGO wpisu)
No trochę czasu minęło od ostatniego postu. Odbiło mi od sławy i się wypaliłem ( ͡° ͜ʖ ͡°)
Wiecie co matematycy lubią robić najbardziej jak już zdefiniują jakąś klasę obiektów? Klasyfikować je i badać mapowania między nimi! W tym wpisie będzie więc o różnych morfizmach, twierdzeniach o klasyfikacji grup oraz o sposobach budowania nowych