[P.....a]

Halo, ta herezja ma rację bytu? Jeśli tak to nk mi to wytłumaczy.
#matematyka

[kolnay1]

@AutomatycznyCzarodziej: masz jakąś inną propozycję niż to, że powinien być to szereg typu 9/10^n, którego ciągiem sum częściowych byłoby akurat [(9/10, 99/100, 999/1000,...)], a sumą akurat 1?

[AutomatycznyCzarodziej]

@kolnay1: Nie mam. Po prostu jeśli chcesz korzystać z konstrukcji liczb rzeczywistych to musisz także określić jak tymże liczbom odpowiada reprezentacja dziesiętna (w ogólności), która jest zdefiniowana.

[kolnay1]

@AutomatycznyCzarodziej: nie muszę, jeśli z jakiegoś powodu nie wierzysz w to, że 0.(9) odpowiada granicy tamtego ciągu, to po prostu nie da się przeprowadzić tego dowodu, ale nie jest to też szczególnie zaskakujące skoro w takiej sytuacji obiekt którego dowod miałby dotyczyć nie jest zdefiniowany... tylko że to robi się już trochę idiotyczne.

[AutomatycznyCzarodziej]

@kolnay1: Mój problem jest następujący: jest wiele konstrukcji liczb rzeczywistych. Jedną z nich jest reprezentacja dziesiętna a inną ciągi Cauchyego. One wszystkie cechują się tym, że spełniają aksjomaty liczb rzeczywistych (więc w pewnym sensie są równoważne). Jeśli teraz chcemy powiedzieć coś o tym jak jedna z tych konstrukcji się zachowuje przy użyciu drugiej to dobrze by było powiedzieć, jak te konstrukcje mają się do siebie.

Oczywiście można uznać, że skoro

[kolnay1]

@AutomatycznyCzarodziej: Trochę nie rozumiem co masz na myśli mówiąc, że jedną z konstrukcji liczb rzeczywistych jest reprezentacja dziesiętna. Zacząłem pisać o tej z ciągami Cauchyego, bo ona najbardziej odpowiada temu czego wydawalo mi się, że oczekujemy od reprezentacji dziesiętnej i dość łatwo sobie to zobrazować.

[AutomatycznyCzarodziej]

@kolnay1: Znalazłem coś takiego https://arxiv.org/pdf/1101.1800.pdf

Tam jest opisana pełna konstrukcja liczb rzeczywistych przy użyciu reprezentacji dziesiętnej. W świetle tamtej definicji 1=0,999... jest oczywiste. ( ͡° ͜ʖ ͡°)

A tak bardziej serio - zrobiliśmy taki dziwny krąg dlatego, że liczby rzeczywiste wszyscy rozumiemy intuicyjnie. Pierwszy dowód tutaj

[kolnay1]

co używało pewnych "intuicyjnych" faktów. Problem jest tylko taki, że nie do końca wiadomo, co zakładamy. Moim zdaniem po nauczeniu się mnożenia liczb ze skończonym rozwinięciem w podstawówce, ludzie zwykle próbują naciągnąć te techniki do liczb rzeczywistych. Tak więc intuicyjnie 10*0,999... = 9,999...

@AutomatycznyCzarodziej: Tak, tego się nie czepiam i nawet z tobą zgadzam.

I ta intuicja jest technicznie prawdziwa. Tylko jeśli zejdziemy aż do definicji (czy wręcz konstrukcji) liczb