[voor]

Ma ktoś jakiś artykuł/książkę/sam umie wytłumaczyć jak to się dzieje, że na rozmaitościach operator pochodnej cząstkowej d/dx jest uznawany za wersor lokalnego układu współrzędnych na rozmaitości? I jak to się dzieje, że jednocześnie niby to d/dx jest pewną "konwencją" oraz tym samym polem wektorowym X{p} możemy zadziałać na pewną funkcję f_?

#matematyka #fizyka

[kyaroru]

@voor: Podręcznik Spivaka do geometrii różniczkowej jest dość czytalny i wolny od notacyjnego horroru tej dziedziny. Wektor styczny do rozmaitości możemy utożsamić z operacją brania pochodnej kierunkowej w kierunku tego wektora, a pochodna cząstkowa to pochodna kierunkowa w kierunku wersora (człowiek nie czuje, że rymuje). Pole wektorowe to przekrój wiązki stycznej, więc możemy działać nim na funkcję:)

[voor]

@kyaroru: Dzięki dzięki, już ściągam i rzucam okiem. Ale w takim wypadku, jaka jest różnica między np polem wektorowym V(x,y)=(x/y)*e{x} + (y/x)*e{y}? To też jest teoretycznie pole wektorowe, ale z powodu zapisu tutaj wersorów e{x}, e{y} nie możemy w żaden sposób zadziałać na funkcję, a przynajmniej tak mi się wydaje. Żeby coś takiego wyszło, to musielibyśmy mieć jakoś funkcję zapisaną w bazie dualnej do bazy przestrzeni R^n, czy coś w tym

[Clermont]

@voor: Nie wiem, czy rozumiem wątpliwość. Chodzi o to, że wektor utożsamiamy z pochodną kierunkową, a wersory (niezależnie od tego, jakie to wersory) utożsamiamy z pochodnymi cząstkowymi.

[voor]

@Clermont: Właśnie mi chodzi o to drugie zdanie. Chodzi o wersory dowolnego wektora stycznego zaczepionego w punkcie na rozmaitości M. Nie potrafię do końca ogarnąć jak sama operacja pochodnej cząstkowej _d/dx{i} działa jako wersor w kierunku zmiennej x{i}. Przy czym zbiór tych x{i} to po prostu lokalny układ współrzędnych na rozmaitości.

[Clermont]

@voor: Powiedziałbym raczej, że wersory (które intuicyjnie wyobrażamy sobie jako strzałki) działają jak pochodne. Definiujemy je sobie w taki lekko abstrakcyjny, ale ogólniejszy sposób.

[voor]

@Clermont: No rozumiem, to łatwo sobie wyobrazić chociażby na wektorze położenia, który zróżniczkowany po czasie daje nam prędkość, a z kolei prędkość jest prostopadłym wektorem do toru (krzywa wyznaczająca tor byłaby rozmaitością?), ale jednak tutaj COŚ różniczkujemy. W tamtym przypadku jest sam symbol pochodnej cząstkowej.

[Clermont]

@voor: Czyli twój dyskomfort jest spowodowany tym, że jako coś, za pomocą czego chcemy zapisać pole wektorowe, służy pochodna, która zyskuje sens dopiero po zadziałaniu na funkcję, mimo że pole wektorowe i bez tego istnieje samo w sobie?

[voor]

@Clermont: O właśnie, idealnie w punkt. Dokładnie o to chodzi - i co z tego wynika jaka jest różnica między zapisaniem pola za pomocą wersorów (tak jak robiłem rotację dla pola magnetycznego na fizyce) a tym jak zapisuje pole za pomocą pochodnych cząstkowych i dlaczego jednym mogę zadziałać na funkcję, a drugim nie, skoro teoretycznie to powinno być to samo.

[PendzoncySzczypiorek]

@voor: Odniosę się do tego przykładu z trajektorią, bo nie bardzo rozumiem w czym tkwi Twój problem. Trajektoria nie zawsze musi być rozmaitością tym bardziej różniczkową. Poza tym wektor prędkości dF(t)/dt nie jest prostopadły do trajketorii tylko do niej równoległy, jest prostopadły do wektoru położenia w czasie t (oczywiście jeśli zalożymy różniczkowalność trajektorii po czasie).

[PendzoncySzczypiorek]

@voor: Wybacz, nie jest oczywiście prostopadły do wekora położenia. Prostopadły jest wektor normalny, do wektora prędkości

[Clermont]

@voor: Zobacz pierwszą odpowiedź: https://math.stackexchange.com/questions/502900/why-do-we-think-of-a-vector-as-being-the-same-as-a-differential-operator/509515#509515. Może pomoże.