[fizyk20]

Trochę mi się dzisiaj nudziło i zrobiłem sobie parę obliczeń.

Prosty problem: podrzucamy obiekt pionowo w górę. Ile czasu zajmie mu powrót w to samo miejsce, zakładając, że osiągnął maksymalną wysokość h względem początkowej pozycji?

Najprostsze podejście: jeśli upuścimy obiekt z wysokości h, zakładając że stale przyspiesza z przyspieszeniem g, dostaniemy równanie h = gt²/2. I stąd t = sqrt(2h/g). Lot w górę zajmie drugie tyle, więc odpowiedź to 2*sqrt(2h/g). Fajnie.

Okej, ale jeśli h jest duże, robi się bardziej skomplikowanie. Wtedy trzeba uwzględnić, że g się zmienia. Zmienimy więc podejście. Startujemy z odległości r od środka Ziemi, znowu obiekt ma osiągnąć wysokość h. Na wysokości h ma energię potencjalną E = -GM/(r+h) i jest to jego całkowita energia. Zatem z zachowania energii, generalnie w odległości r będziemy mieć 1/2 (dr/dt)² - GM/r = -GM/(r+h). Z tego robi się równanie różniczkowe, można odcałkować dt/dr i wychodzi wynik (już nie będę pisał, jest na obrazku dołączonym do postu).

Dobra, ale podnieśmy poprzeczkę jeszcze trochę - policzmy to w ramach Ogólnej Teorii Względności ( ͡° ͜ʖ ͡°) Tu się już robi bardziej skomplikowanie i materiał byłby na dłuższą notkę. Pokrótce: rozpisuje się równanie geodezyjnej w metryce Schwarzschilda, zakłada się zmiany tylko współrzędnych t i r, z równania geodezyjnej i warunku unormowania czteroprędkości wychodzi nieco bardziej skomplikowane równanie na dt/dr niż w przypadku newtonowskim, które też można odcałkować i coś z tego wychodzi. Cały wynik jeszcze trzeba tylko przemnożyć przez sqrt(1-2M/r), żeby różnicę współrzędnych t przeliczyć na czas własny obserwatora, i voila.

Porównanie wszystkich trzech wyników na obrazku. I oczywiście dla małych h, wszystkie trzy równania dają praktycznie takie same wyniki, więc za bardzo nie ma sensu używać tych bardziej skomplikowanych ( ͡° ͜ʖ ͡°)

#fizyk20content #fizyka #ciekawostki #gruparatowaniapoziomu

[fizyk20]

@fizyk20: Aha - jakby komuś się jednostki nie zgadzały, to wszystko powyżej jest w jednostkach c=G=1, bo się łatwiej liczy (mniejszy bałagan we wzorach). Żeby przejść do np. jednostek SI, wystarczy za M wstawić GM/c² i jeszcze podzielić cały wynik przez c ( ͡° ͜ʖ ͡°)

[Rad-X]

@fizyk20: zapomniałeś uwzględnić zmienności gęstości atmosfery w czasie na różnych wysokościach

[fizyk20]

@Rad-X: "Zapomniałem" uwzględnić atmosfery w ogóle ( ͡° ͜ʖ ͡°)

[Rad-X]

@fizyk20: no ewidentnie poszedłeś na skróty

[fizyk20]

@Rad-X: I nawet ruchu obrotowego Ziemi nie uwzględniłem! Bo to należałoby metrykę Kerra wziąć, a ja poszedłem na łatwiznę ze Schwarzschildem.