Dlaczego w zadaniach dotyczących znalezienia liczb dla których szereg jest zbieżny wykorzystuje się zbieżność bezwzględną + dowolne kryterium dla liczb nieujemnych? Oczywiście szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny ale to wynikanie nie działa w drugą stronę (szereg zbieżny warunkowo, który jest zbieżny lecz nie jest bezwzględnie zbieżny). Czy ja coś źle myślę? ( ͡°͜ʖ͡°) #matematyka
@randomname1: jeśli szereg jest zbieżny warunkowo, i jego wszystkie wyrazy są nieujemne, to automatycznie jest bezwzględnie zbieżny. Dowód: Weźmy ten szereg. Z założenia jest zbieżny. Nałóżmy moduł na każdy element szeregu. Ponieważ wszystkie elementy były nieujemne, to żaden element szeregu się nie zmienił, czyli szereg nadal jest zbieżny. Czyli szereg złożony z modułów elementów jest zbieżny, co oznacza, że szereg jest bezwzględnie zbieżny (bo właśnie taka jest definicja bezwzględnej zbieżności)
#matematyka
Dowód:
Weźmy ten szereg. Z założenia jest zbieżny.
Nałóżmy moduł na każdy element szeregu. Ponieważ wszystkie elementy były nieujemne, to żaden element szeregu się nie zmienił, czyli szereg nadal jest zbieżny. Czyli szereg złożony z modułów elementów jest zbieżny, co oznacza, że szereg jest bezwzględnie zbieżny (bo właśnie taka jest definicja bezwzględnej zbieżności)