[zgubilemkartkezloginem]

Cześć. Mam drobny problem z następującym zadaniem:
Zmienna losowa X ma rozkład jednorodny w przedziale [0,1]. Zmienna losowa Y=max(X, 1/2). Proszę znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y.
Moglibyście nakierować mnie na rozwiązanie tego? Wiem, że to kolejne zadanie na transformację. Początek mam już rozpisany, ale nie jestem pewien, czy powinienem mieć P(X≤y ∧ 1/2≤y), czy ma to być P(X≤y ∨ 1/2≤y) oraz czy można rozbić to na dwa prawdopodobieństwa.
#matematyka

[sezzart]

W jakim przedziale jest Y i jakie wartości przyjmuje X? Jak odpowiesz na te dwa pytanie powinno być łatwe

[S....._]

@zgubilemkartkezloginem: jak max ma być mniejszy niż y, to znaczy że oba czynniki muszą być mniejsze, czyli ta pierwsza wersja. Inna sprawa, że tutaj akurat tak czy tak wyszłoby to samo.

[zgubilemkartkezloginem]

@sezzart: X jest w przedziale [0; 1], natomiast Y będzie w przedziale [1/2; 1]. Wartość przyjmowana przez X jest pewną stałą.

[sezzart]

@zgubilemkartkezloginem: czemu Y bedzie w przedziale [1/2; 1]? Z tego co pamietam pole pod zmienna losową musi być równe 1? Plus pytalem o wartosci X a nie jej przedzial, pomylily ci sie pojecia :v)

[zgubilemkartkezloginem]

@sezzart: Widać jeszcze się nie obudziłem. Przedział Y jest taki sam jak przedział X, natomiast wartością X w całym przedziale jest pewna stała.

[sezzart]

ile wynosi ta stala?

[zgubilemkartkezloginem]

W treści zadania nie ma informacji o tym. Jest tylko, że X ma rozkład jednorodny. Stąd wywnioskowałem, że chodzi o stałą.

[sezzart]

Wiesz że przedział ma miarę 1 a całka musi wynosić też 1(cecha random variable). Z tego możesz wywnioskować że jaka wartość przyjmuje...?

[zgubilemkartkezloginem]

@sezzart: Na początek ponownie zapoznałem się z definicją rozkładu jednorodnego. Stąd wyliczyłem, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma wartość 1. Wyliczyłem dystrybuantę, a teraz zastanawiam się nad transformacją. Ponownie dotarłem do P(X≤y ∧ 1/2≤y) i niestety nie wiem, co z tym dalej zrobić.

[sezzart]

@zgubilemkartkezloginem: wiesz ze X = 1 dla x \in (0,1); 0 dla pozostalych. Wiesz ze Y=max{X,1/2}. Wiesz ile wynosi X i mozesz ocenic ile to max. Moze cos przegapiam ale czy nie wychodzi po prostu ze Y=X?

[zgubilemkartkezloginem]

@sezzart: Faktycznie. Nie wiem, jakim cudem tego nie zauważyłem. Wielkie dzięki.
Jeszcze tak dla pewności: czy wartość oczekiwana powinna wynieść (1/2*y^2)=1/2?

[sezzart]

@zgubilemkartkezloginem: Na to wyglada :D Jest tez w miare intuicyjne jak pomyslisz ze wszystkie wartosci od 0 do 1 maja te same prawdopodobienstwo to spodziewana wartosc musi byc w polowie

[R.....n]

@sezzart: Jakieś głupoty wygadujesz. Po pierwsze trzeba ustalić co oznacza rozkład jednorodny (otóż takiego nie ma), ale wszystkie znaki na ziemi wskazują na to że chodzi o rozkład jednostajny i w takim razie @zgubilemkartkezloginem ma rację, że X przyjmuje wartości między 0 a 1 i w konsekwencji Y między 1/2 a 1. Chyba tobie się pomyliły wartości, bo co to w ogóle znaczy że pole pod zmienną losową ma

[sezzart]

@RedJohn: rozkład jednostajny ciągły. Nośnikiem jest przedział;
https://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_jednostajny_ci%C4%85g%C5%82y
wartosci jak widac to 0 albo jakas stala. a co do nazw, nie wiem nie studiuje po polsku

[R.....n]

@sezzart: Nie. To jest gęstość (PDF), ona przyjmuje wartość 0 albo stała. Sama zmienna losowa może przyjąć dowolną wartość między 0 a 1.

[sezzart]

@RedJohn: skad wiemy ze moze przyjac wartosc pomiedzy 0 a 1?

[R.....n]

@sezzart: Trzeba rozróżnić dwie rzeczy. Zmienna losowa sama w sobie jest funkcją (nie będę wchodził dokładnie w zawiłości). Jest zdefiniowana w taki sposób, że jako argument bierze elementy z przestrzeni probabilistycznej, a jako wartości wypluwa liczby rzeczywiste. Różnica jest tak, że nie możemy dokładnie powiedzieć jaką wartość dostaniemy. Rozkład zmiennej losowej mówi nam z jakim prawdopodobieństwem możemy otrzymać dane liczby. W przypadku zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym na odcinku [0,1]

[sezzart]

@RedJohn: to ty napisales:

Sama zmienna losowa może przyjąć dowolną wartość między 0 a 1.

Wiec pytam skad wnioskujesz ze RV wypuje liczbe z tego przedzialu. I czemu nie jestes w stanie dokladnie powiedziec jaka wartosc dostaniemy?

[R.....n]

@sezzart: Chyba się nie zrozumiemy. Jak mogę powiedzieć jaką wartość przyjmie skoro jest to zmienna LOSOWA? Możemy mówić tylko o prawdopodobieństwie. Z prawdopodobieństwem 1 będzie to liczba z przedziału [0,1], z pr. 0.5 będzie to liczba z przedziału [0,0.5], [1/4,3/4], z pr. 0 będzie to dokładnie 1/2. Z jakiego przedziału są te liczby? https://www.wolframalpha.com/input/?i=random+number+from+uniform+distribution

[sezzart]

@RedJohn: tak, teraz rozumiem, dzieki