[P.....a]

Halo, ta herezja ma rację bytu? Jeśli tak to nk mi to wytłumaczy.
#matematyka

[Z.....e]

@PijoDeHuta: ma rację bytu

[kickli]

@PijoDeHuta: https://pl.wikipedia.org/wiki/0,(9)

[P.....a]

@ZjemCiNoge: jak to? Wytłumaczysz?

[P.....a]

@kickli: dziękuję bardzo, nigdy się nad tym nie zastanawiałem ,a dowody są banalnie proste.

[Hankete]

@PijoDeHuta: Dowód 3 z linku jaki wysłał @kickli wydaje mi się najbardziej czytelny.

[P.....a]

@Hankete: mi też, zbieżny szereg geometryczny, tylko podstawić do wzoru.

[lolmdf]

@PijoDeHuta: można na 2 sposoby (ja to zrobie na przykładzie 1=0,(9)) 1/3=0,33333..., 2/3=0,66666..., 1=0,99999.....
albo x=0,999999..../*10
10x=9,999999..../-x
9x=9/:9
x=1

[Precypitat]

@kickli: a w sumie ułamek z inną cyfrą w okresie ma rację bytu? Ot, np. 0,(2)? To wtedy zero czy jak?

[AutomatycznyCzarodziej]

a dowody są banalnie proste.

albo x=0,999999..../*10

10x=9,999999..../-x

@lolmdf:

@PijoDeHuta:

Wbrew pozorom to jest dość skomplikowane. Pytanie brzmi: czemu 10*(0,9999...) = 9,9999..., tzn. co pozwala na nieskończone mnożenie.

[kolnay1]

@AutomatycznyCzarodziej: Można ułatwić sobie zadanie powołując się na konstrukcję liczb rzeczywistych przez przekroje Dedekinda, z której już wprost wynika, że 0.(9)=1. Nie trzeba się martwić definiowaniem tych wszystkich tworów.

[kolnay1]

@kolnay1: Tak może dodam, że konstrukcja przez ciągi Cauchyego też jasno na tę równość wskazuje. Generalnie o ile wiemy czym liczby rzeczywiste formalnie są, to powinniśmy też wiedzieć, że 0.(9)=1.

[kickli]

@Precypitat: a dlaczego ma nie mieć racji bytu? Policz sumę tego ciągu analogicznie do 0,(9) i wyjdzie że 0,(2)=2/9

[AutomatycznyCzarodziej]

W tym pierwszym jest

the real number 0.999... is the set of rational numbers r such that r < 0, or r < 0.9, or r < 0.99

Drugi jest bardziej lakoniczny, ale tam też jest jakieś podobne założenie.

Generalnie o ile wiemy czym liczby rzeczywiste formalnie są, to powinniśmy też wiedzieć, że 0.(9)=1.

@kolnay1:
Ogólnie wydaje mi się, że bez zdefiniowania notacji dziesiętnej nie można nic powiedzieć o napisie 0,9999...

[kolnay1]

@AutomatycznyCzarodziej: Czym twoim zdaniem są liczby rzeczywiste? Można patrzeć na to tak, że liczby rzeczywiste to granice pewnego ciągu liczb wymiernych (która czasem może być liczbą niewymierną i o to jest cały ambaras). Patrząc na to w ten sposób (a ciężko patrzeć na liczby rzeczywiste bez definiowania ich), napis 0.9999... to po prostu granica odpowiedniego ciągu (0, 0.9, 0.99, ...). Swoją drogą ten drugi dowód, który nazwałeś lakonicznym, sprowadza się do

[AutomatycznyCzarodziej]

Czym twoim zdaniem są liczby rzeczywiste?

Definicja aksjomatyczna: https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_rzeczywiste#Definicje_i_konstrukcje
Jak rozumiem wybrałeś konstrukcję przez ciągi liczb wymiernych.

co pozwala na nieskończone mnożenie nie ma żadnego matematycznego sensu

@kolnay1: Zbyt skrótowo to ująłem. To, że mnożenie jest zdefiniowane w ciele niewiele tu zmienia. Bo to, że jeśli liczby 10 i 0,999... należą do tego samego ciała jak najbardziej znaczy, że 10*0,9999... należy do tego ciała. Tylko czemu wynik to 9,999... (innymi słowy

[kolnay1]

Definicja aksjomatyczna:

@AutomatycznyCzarodziej: ma ona tę wadę, że nie rozstrzyga o istnieniu takich liczb.

Tylko czemu wynik to 9,999... (innymi słowy - co pozwala na intuicyjne przesunięcie przecinka?). Albo na przykład czemu 9,999... - 0,999... = 9

Pozwala na to definicja mnożenia w ciele R, która nakazuje nam mnożyć odpowiadające tym zapisom ciągi wyraz po wyrazie.

To mnożenie (na ciągach) to formalnie jest co innego niż działania na rozwinięciu dziesiętnym. Tutaj

[kolnay1]

że szereg to ciąg sum częściowych

@kolnay1: *granica ciągu sum częściowych

[AutomatycznyCzarodziej]

ma ona tę wadę, że nie rozstrzyga o istnieniu takich liczb.

@kolnay1: Definicja nie musi rozstrzygać o istnieniu.

Pozwala na to definicja mnożenia w ciele R, która nakazuje nam mnożyć odpowiadające tym zapisom ciągi wyraz po wyrazie.

Dodam też może dla porządku, że szereg to ciąg sum częściowych, bo chyba coś ci się pozornie kłóci z tym co napisałem, mimo że nie powinno.

Uporządkujmy:
1. Mamy liczby wymierne (jakoś tam skonstruowane).

[kolnay1]

@AutomatycznyCzarodziej: Jeśli chodzi o wykazanie, że 0.(9)=1 to wystarczy tyle:

1. Mamy liczby wymierne (jakoś tam skonstruowane). W szczególności wiemy, że istnieją takie liczby jak na przykład 9/10, 99/100 itd.
2. Z nich przy pomocy konstrukcji przez ciągi Cauchy'ego konstruujemy liczby rzeczywiste https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers#Construction_from_Cauchy_sequences
3. Mamy teraz zbiór obiektów, które spełniają aksjomaty liczb rzeczywistych (jak w poprzednim komentarzu).
4. W szczególności elementami liczb rzeczywistych są [(10,10,10,10,...)] oraz [(9/10;99/100;999/1000;...)]
5. Żeby wykazać, że

[AutomatycznyCzarodziej]

@kolnay1: Nie. To dowodzi tylko, że [(9/10, 99/100, 999/1000,...)] = [(1,1,1,...)]

Brakuje związku 0,(9) z [(9/10, 99/100, 999/1000,...)] (bo nie wiemy, co to jest 0,(9)).