[Polewik]

Ciekawe dowody na to, że jądro jest podgrupą w G, a obraz jest podgrupą w G'

f: G -> G'

Funkcja musi być bijekcją (i nawet surjekcją), ale zawsze można ograniczyć się tylko do rozpatrzenia obrazu f zawierającego się w G', który jest podgrupą w G'.
Żeby to udowodnić korzystamy z tego, że każdy homomorfizm "przeprowadza" 1 na 1 i element odwrotny na element odwrotny

f(e) ʘ f(e) = f(e ■ e)= f(e) =f(e) ʘ e'
co po skróceniu daje nam f(e) = e'
■

ker f = e
wtedy
f: G -> im f jest izomorficzna
[ f(a) = e' i f(b) = e' ] -> f(a ʘ b) = f(a) ■ f(b) = e' ʘ e' = e'
oraz
f(a) = e' -> f(a^-1) = f(a)^-1 = e'^-1 = e'
więc H = ker f jest podgrupą w G.
■

Długo szukałem takiego dowodu, pytałem nawet na wypoku i innych forach matematycznych i nie uzyskałem żadnej odpowiedzi. Dowód popełniony ze wsparciem niezastąpionego A. Kostrikina.
Jeśli coś jest niejasne albo gdzieś jest jakiś rażący błąd - jestem otwarty na krytykę ( ͡° ͜ʖ ͡°)

#matematyka #algebra #nauka #ciekawostki #matematykapolewika

[Polewik]

Uzupełnienie dla jasności
ʘ i ■ są działaniami w grupach G i G' (ʘ‿ʘ)

[voor]

@Polewik: jest jakiś konkretny warunek dlaczego f(e) * f(e) = f(e • e)?

[Polewik]

@voor: Wynika to z własności izomofizmów
(1) jedynka przechodzi na jedynkę
Jeśli e jest jedynką grupy G to e * a = a * e, więc f(e) ʘ f(a) = f(a) ʘ f(e) = f(a), stąd wynika, że e' = f(e) jest jedynką G'
(2) przeprowadzanie elementu odwrotnego na element odwrotny
f(a^-1) = f(a)^-1, z 1 własności wynika, że f(a) ʘ f(a^-1) = f(a*a^-1) = f(e) = e' i odwrotnie

[voor]

@Polewik: Okiii, dziena

[baronsob]

@Polewik: > bijekcją (i nawet surjekcją).
Brzmi jak: mam 4 zł a nawet mam 2 zł xd

[Polewik]

@baronsob: rzeczywiście XD