[MrBanana]

Jak rozwiązać taką nierówność? Jak by był znak równa się to wszystko w porządku, ale jest słaba nierówność ;/

#studbaza
#matematyka

[EugeniuszGeniusz]

Log(1/2)(1/2)=1

[MrBanana]

@EugeniuszGeniusz: i co potem gdzy przeniose na lewą stronę to wyjdzie mi jeden log(1/2)(1-1/x / 1/2)

[j.....o]

@MrBanana: Nie przenoś tylko skorzystaj z faktu, że funkcja logarytmiczna jest monotoniczna i opuść logarytm. Musisz tylko zmienić znak, bo podstawa jest mniejsza od 1, więc funkcja logarytmiczna będzie malejąca. A, i nie zapomnij o dziedzinie.

[MrBanana]

@jakubito: Co to znaczy, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa?

[j.....o]

@MrBanana: Edytowałem komentarz i zmieniłem na monotoniczność, ale w sumie to chodzi o to samo. Chodzi o to, że nie przyjmuje takiej samej wartości dla żadnych różnych od siebie argumentów. Tutaj przy nierównościach korzysta się raczej z monotoniczności funkcji, czyli z faktu, że rośnie ona lub maleje w całej swojej dziedzinie. Gdyby tak nie było, to nie mógłbyś tak po prostu opuścić logarytmu. Widać to np. przy opuszczania kwadratu w równaniu

[MrBanana]

@jakubito: Czy rozwiązanie będzie x>=2 ? Bo jak opuszczamy logarytm to nierównośc wygląda tak: (1/2)^1 <= 1-(1/x)

[j.....o]

@MrBanana: Nie, ogólnie to nie zmieniłeś znaku. Zmieniłeś równania stronami zmieniając też znak. I pamiętaj o dziedzinie.

[MrBanana]

@jakubito: ale znaku nierówności nie zmieniłem?

[j.....o]

@MrBanana: Tak, zapisałeś tą samą nierówność (nie wiem tylko po co ta potęga przy 1/2), tylko zamieniłeś strony. Zostaw składniki po swoich stronach i zmień tylko znak nierówności.

[MrBanana]

@jakubito: Możesz napisać jak to powinno prawidłowo wyglądać, i czy funkcja logarytmiczna zawsze jest monotoniczna i czy zawsze można opuścić logarytm?

[j.....o]

@MrBanana:

i czy funkcja logarytmiczna zawsze jest monotoniczna i czy zawsze można opuścić logarytm

Tak, funkcja logarytmiczna w całej swojej dziedzinie jest monotoniczna - popatrz na wykresy funkcji logarytmicznej. Od jej podstawy zależy czy będzie to funkcja zawsze malejąca, czy zawsze rosnąca. Intuicyjnie można szybko sprawdzić czy funkcja jest różnowartościowa krojąc jej wykres prostymi równoległymi do osi odciętych. Jeżeli żadna taka prosta nie przecina wykres w dwóch miejscach, to dana funkcja

[MrBanana]

@jakubito: Dziękuje za pomoc! Zrozumiałem.

[extern-int]

@jakubito: @MrBanana: Wszystko ładnie tylko, że można było prościej:
1-1/x <= 1/2
1/2 <= 1/x
x <= 2
Wynik: x \in (1,2]

[j.....o]

@extern-int: Jasne, bo wiadomo, że x>1, inaczej trzeba by rozwiązać dwa przypadki. Wolałem już to uniwersalnie zapisać - tym bardziej, że twoje jest tylko jedną linijkę krótsze. To nie zawody na najkrótszy zapis - inaczej od razu można podać odpowiedź ;d

[extern-int]

@jakubito: Spoko. Wiem że nie zawody :). Po prostu pokazuje coś co może się przydać w przyszłości. Twoje rozwiązanie jest poprawne.